Les rotations dans le plan, la transformation de Galilée et celle de Lorentz peuvent s’exprimer à l’aide de matrices.
par bernard.vuilleumier
La transformation de Galilée peut s’obtenir comme limite de la transformation de Lorentz. Les rotations et la transformation de Lorentz laissent chacune une grandeur invariante : la distance pour les rotations et l’intervalle pour la transformation de Lorentz.
Rotation
Quatre points ont les coordonnées :
dans un système de référence ∑. Dans un autre système de référence ∑’, ils ont les coordonnées :
a) Vérifiez que la distance séparant ces points de l’origine est la même dans les deux systèmes de référence.
b) De quel angle ∑’ a-t-il tourné par rapport à ∑ ?
Rotation. Corrigé
a) La distance entre le point (x, y) et l’origine est donnée par :
b) Définissons la matrice de rotation du point autour de l’origine mr :
En résolvant l’équation :
on obtient la rotation subie par le point. Le système de référence a donc subi une rotation de sens opposé de -Pi/6
Transformation de Galilée
Quatre événements ont les coordonnées :
dans un système de référence ∑. Dans un autre système de référence ∑’, ils ont les coordonnées :
A quelle vitesse le système ∑’ se translate-t-il par rapport à ∑ ?
Galilée. Corrigé
b) Définissons la matrice de la transformation de Galilée mG :
a) En résolvant l’équation :
on obtient la vitesse de translation.
N. B. Il faut choisir un événement dont la coordonnée temporelle est différente de 0.
Transformation de Lorentz
Quatre événements ont les coordonnées :
dans un système de référence ∑. Dans un autre système de référence ∑’, ils ont les coordonnées :
a) Vérifiez que l’intervalle séparant ces points de l’origine est le même dans les deux systèmes de référence.
b) A quelle vitesse le système ∑’ se translate-t-il par rapport à ∑ ?
c) Si on exprime la matrice de la transformation sous la forme :
que vaut l’angle θ ?
Lorentz. Corrigé
a) L’intervalle séparant les événements de l’origine est conservé par la transformation :
b) c) Définissons la matrice de la transformation :
et résolvons l’équation :
d) Il faut utiliser la forme suivante de la transformation de Lorentz et prendre la limite lorsque c tend vers l’infini :
e) L’angle theta (en radian) s’obtient avec la relation :
N. B. La fonction N permet d’obtenir la valeur numérique approchée de l’angle. Si on ne l’utilise pas Mathematica laisse l’entrée inchangée (valeur exacte).
En degré :
