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Matrices

Transformations exprimées à l’aide de matrices

Rotation, transformation de Galilée et transformation de Lorentz

lundi 7 novembre 2005, par Bernard Vuilleumier

La transformation de Galilée peut s’obtenir comme limite de la transformation de Lorentz. Les rotations et la transformation de Lorentz laissent chacune une grandeur invariante : la distance pour les rotations et l’intervalle pour la transformation de Lorentz.

Rotation

Quatre points ont les coordonnées :

dans un système de référence ∑. Dans un autre système de référence ∑’, ils ont les coordonnées :

a) Vérifiez que la distance séparant ces points de l’origine est la même dans les deux systèmes de référence.
b) De quel angle ∑’ a-t-il tourné par rapport à ∑ ?

Rotation. Corrigé

a) La distance entre le point (x, y) et l’origine est donnée par :

b) Définissons la matrice de rotation du point autour de l’origine mr  :

En résolvant l’équation :

on obtient la rotation subie par le point. Le système de référence a donc subi une rotation de sens opposé de -Pi/6

Transformation de Galilée

Quatre événements ont les coordonnées :

dans un système de référence ∑. Dans un autre système de référence ∑’, ils ont les coordonnées :

A quelle vitesse le système ∑’ se translate-t-il par rapport à ∑ ?

Galilée. Corrigé

b) Définissons la matrice de la transformation de Galilée mG  :

a) En résolvant l’équation :

on obtient la vitesse de translation.
N. B. Il faut choisir un événement dont la coordonnée temporelle est différente de 0.

Transformation de Lorentz

Quatre événements ont les coordonnées :

dans un système de référence ∑. Dans un autre système de référence ∑’, ils ont les coordonnées :

a) Vérifiez que l’intervalle séparant ces points de l’origine est le même dans les deux systèmes de référence.
b) A quelle vitesse le système ∑’ se translate-t-il par rapport à ∑ ?
c) Si on exprime la matrice de la transformation sous la forme :

\left( \begin{array}{cc} \cosh \theta & -\sinh \theta \\ -\sinh \theta & \cosh \theta \end{array} \right)

que vaut l’angle θ ?

Lorentz. Corrigé

a) L’intervalle séparant les événements de l’origine est conservé par la transformation :

b) c) Définissons la matrice de la transformation :

et résolvons l’équation :

d) Il faut utiliser la forme suivante de la transformation de Lorentz et prendre la limite lorsque c tend vers l’infini :

e) L’angle theta (en radian) s’obtient avec la relation :

N. B. La fonction N permet d’obtenir la valeur numérique approchée de l’angle. Si on ne l’utilise pas Mathematica laisse l’entrée inchangée (valeur exacte).

En degré :

Messages

  • Bonjour Monsieur,

    Je tenais à vous signaler une petite erreur :

    Dans le milieu de la page, sous la Transformation de Lorentz, juste avant le corrigé de Lorentz, il y a une ligne de code latex qui n’apparaît pas comme elle se doit d’apparaître. La voici :

    \pmatrix{cosh\theta & -sinh\theta \cr -sinh\theta & cosh\theta}

    Je vous souhaite de passer une bonne soirée.
    À demain.

    • Bonsoir,

      Merci pour votre remarque. Ce document avait fait l’objet d’une conversion automatique à partir de Mathematica, et quelque chose n’a pas fonctionné correctement. J’ai corrigé le code manuellement et maintenant, je crois que tout est en ordre.