Exercices sur la relativité galiléenne

Transformation de Galilée

dimanche 24 septembre 2006, par Bernard Vuilleumier

Relative Motion in a Subway Station from the Wolfram Demonstrations Project by Enrique Zeleny

Exercice 1

Un mobile se déplace dans un référentiel d’inertie selon l’horaire :

Écrivez les équations paramétriques de la trajectoire du mobile.
Donnez l’équation de cette dernière.
Dessinez cette trajectoire pour t_min ≤ t ≤ t_max.
Dessinez les vecteurs position, vitesse et accélération du mobile.

On observe le mobile depuis un autre référentiel en translation à la vitesse :

par rapport au premier référentiel. Au temps t=0, les deux origines coïncident.

Donnez l’horaire du mobile dans ce deuxième référentiel.
Calculez les composantes selon Ox et Oy des vecteurs position, vitesse et accélération du mobile dans ce référentiel.
Comparez les valeurs obtenues dans chaque référentiel pour ces composantes.
Dessinez la trajectoire du mobile dans ce référentiel.

Données numériques

x₀=0 m, y₀=0 m, v₀=20 m/s, α=60°, g_x=0 m/s², g_y=-9.81 m/s², v*_x=10 m/s, v*_y=0 m/s, t_min=0 s, t_max=3.5 s.

Rép. Composantes des différents vecteurs dans les deux systèmes.

Composantes des vecteurs dans le premier système

Composantes des vecteurs dans le deuxième système

Exercice 2

Un mobile se déplace dans un référentiel d’inertie selon l’horaire :

Calculez les composantes selon Ox et Oy des vecteurs position, vitesse et accélération du mobile dans ce référentiel.
Dessinez la trajectoire du mobile pour t_min ≤ t ≤ t_max.

On observe le mobile depuis un autre référentiel en translation à la vitesse :

par rapport au premier référentiel. Au temps t=0, les deux origines sont séparées par le vecteur :

Donnez l’horaire du mobile dans ce deuxième référentiel.
Calculez les composantes selon Ox et Oy des vecteurs position, vitesse et accélération du mobile dans ce référentiel.
Dessinez la trajectoire du mobile dans ce référentiel.

N. B. La courbe définie par la trajectoire du mobile dans le deuxième système, dite courbe brachistochrone, jouit d’une propriété très intéressante : c’est la courbe de descente la plus rapide pour un point pesant.

Données numériques

d=1 m, ω=1 rad/s, φ=π/2 rad, t_min=0 s, t_max=π s, v*_x=-1 m/s, v*_y=0 m/s, x₀=0 m, y₀=1 m.

Rép. Représentation des vecteurs dans les deux systèmes de référence pour 0 ≤ t ≤ π par pas de π/5 s.

**Vecteurs position, vitesse et accélération dans les deux systèmes**

En bleu, vecteurs position, en vert vecteurs vitesse et en rouge vecteurs accélération. On constate que les vecteurs accélération sont les mêmes dans les deux systèmes.

Exercice 3

Un mobile se déplace dans un référentiel d’inertie durant un temps t, -3 ≤ t ≤ 3 s, selon l’horaire :

– Dessinez sa trajectoire.

On observe le mobile depuis un autre référentiel en translation à la vitesse :

par rapport au premier référentiel. Au temps t=t_min, les deux origines sont séparées par le vecteur :

– Dessinez la trajectoire observée depuis ce deuxième référentiel lorsque :

v*_x=-1 m/s, v*_y=0 m/s, x_{t_min}=3 m, y_{t_min}=1 m.
v*_x=1 m/s, v*_y=0 m/s, x_{t_min}=-3 m, y_{t_min}=1 m.
v*_x=0 m/s, v*_y=-1 m/s, x_{t_min}=1 m, y_{t_min}=3 m.
v*_x=0 m/s, v*_y=1 m/s, x_{t_min}=1 m, y_{t_min}=-3 m.
v*_x=1 m/s, v*_y=1 m/s, x_{t_min}=-2 m, y_{t_min}=-2 m.
v*_x=1 m/s, v*_y=-1 m/s, x_{t_min}=-2 m, y_{t_min}=2 m.

Rép. Trajectoire du mobile dans le premier référentiel.

Trajectoire du mobile

Autres exercices
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– sur le mouvement
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Portfolio

Messages

1er octobre 2007, 17:49, par Antonio

Bonjour Monsieur,

Pourriez-vous préciser quels équations permettent de trouver le tableau-corrigé à l’exercice 1 ?

S’agit-il bien de poser :

$r_{x}(t) = 20 \cos{(60)} t$

$r_{y}(t) = 20 \sin{(60)} t - \frac{1}{2} 9.81 t^2$

Puis de dériver,

$v_{x}(t) = -20 \sin{(60)}$

$v_{y}(t) = 20 \cos{(60)} - 9.81 t$

$a_{x}(t) = 0$

$a_{y}(t) = -9.81$

Merci d’avance
- 1er octobre 2007, 19:13, par Bernard Vuilleumier
  
  Bonjour,
  
  L’horaire du mobile dans le second référentiel en translation à la vitesse $\vec{v^*}$ par rapport au premier s’obtient par une transformation de Galilée (voir la réponse donnée à Florian). L’horaire du mobile dans le premier référentiel est donné dans l’énoncé. Dans Mathematica, vous écrivez :
  r0 = {0, 0}; v0 = {vx0, vy0}; g = {0, -9.81}; tinitial = 0; tfinal = 3.5; deltat = 0.5; grandeurv0 = 20; alpha = 60; r[t_] := r0 + v0*t + 1/2 g*t^2 (* horaire dans le premier référentiel *) vx0 = grandeurv0*Cos[alpha Degree]; vy0 = grandeurv0*Sin[alpha Degree]; rxy = Table[r[t], {t, tinitial, tfinal, deltat}] (*composantes du vecteur position*)vxy = Table[r'[t], {t, tinitial, tfinal, deltat}] (*composantes du vecteur vitesse*)axy = Table[r''[t], {t, tinitial, tfinal, deltat}] (*composantes du vecteur accélération*) vr = {10, 0}; (* vitesse relative des deux systèmes *) r2[t_] := r0 + v0*t + 1/2 g*t^2 - vr*t (* horaire dans le second système *) r2xy=Table[r2[t], {t, tinitial, tfinal, deltat}] v2xy=Table[r2'[t], {t, tinitial, tfinal, deltat}] a2xy=Table[r2''[t], {t, tinitial, tfinal, deltat}]
  N. B. Ces calculs ne présentent aucune difficulté et peuvent très bien se faire à la main.
  
  Je vous rappelle que la vitesse s’obtient en dérivant la fonction qui donne le vecteur position et l’accélération en dérivant la fonction qui donne la vitesse.
- 1er octobre 2007, 19:27, par Yannick S.
  
  Je pense qu’Antonio attendait une réponse plus...numérique afin de justement pouvoir faire ces calculs à la main.
  
  Nonobstant cela, l’équation dans le deuxième référentiel peut s’écrire sous la forme plus condensée :
  
  $\vec{r_{2}}(t) = \vec{r0}+(\vec{v0}-\vec{v*}) t+\frac{1}{2} \vec{g} t^2$
  
  Par extension, on peut faire un calcul similaire pour chaque horaire à transposer dans un autre référentiel inertiel.
  N’est-ce pas ?
- 1er octobre 2007, 20:31, par Bernard Vuilleumier
  
  Oui, la transformation de Galilée est tout à fait générale et peut s’appliquer dans tous les cas de mouvement relatif rectiligne uniforme entre deux systèmes.
  
  Pour les calculs « à la main », il suffit de remplacer r0, v0, vr dans les équations horaires (écrites en composantes) par les valeurs données dans l’énoncé, et d’effectuer le calcul pour les différents t. Avez-vous des difficultés avec cette opération ?
- 1er octobre 2007, 20:46, par Yannick S.
  
  Ok, et dans le cas où les deux origines ne coincident pas la formule pourrait être écrite sous la forme
  
  $\vec{r_2}(t) = (\vec{r_0}+ \vec{r*})+ (\vec{V_0}-\vec{V*})t+ \frac{1}{2} \vec{g} t^2$
  
  Juste ?
- 1er octobre 2007, 22:18, par Bernard Vuilleumier
  
  Oui, mais la notation utilisée dans le cours est plutôt la suivante :
  
  $\vec{r’}=\vec{r}+\vec{r_0}-\vec{v^*}t$
  
  mais peu importe, il suffit de savoir de quoi l’on parle.
  $\vec{r’}$ : vecteur position du mobile dans le deuxième système
  $\vec{r}$ : vecteur position du mobile dans le premier système
  $\vec{r_0}$ : vecteur séparant les deux origines au temps t=0
  $\vec{v^*}$ : vecteur vitesse du deuxième système par rapport au premier.
  
  Attention, si vous utilisez Mathematica, il faut modifier cette notation car, dans ce logiciel, le prime désigne la dérivée de r, mais ce n’est pas sa signification dans la transformation de Galilée.
1er octobre 2007, 17:51, par Antonio

Bonjour,

Je ne comprends comment faire avec $\vec{V}*$ et comment arriver aux résultats du tableau avec ce dernier ?

Laquelle des 2 expressions ci-dessus serait correcte ?

$r_{\sum’} = r_{\sum} - v_{r} t$

ou alors

$r_{\sum’} = r_{\sum} - v_{*} t$

Merci beaucoup
- 1er octobre 2007, 18:00, par Florian
  
  Bonjour Monsieur, comment se fait-il que cet exercice figure dans le champs de l’épreuve alors que nous ne l’avons jamais vu en classe ?
- 1er octobre 2007, 18:31, par Bernard Vuilleumier
  
  Nous avons étudié la cinématique vectorielle en troisième année. Avez-vous déjà tout oublié ? Nous utilisons ces connaissances en quatrième année lorsque nous abordons la transformation de Galilée qui relie les vecteurs position $\vec r$ et $\vec{r’}$ d’un mobile dans deux systèmes inertiels en mouvement relatif à la vitesse $\vec {v^*}$ l’un par rapport à l’autre :
  
  $\vec{r’}=\vec r-\vec {v^*}t$
  $t’=t$
- 1er octobre 2007, 18:36, par Antonio
  
  t étant déjà le paramètre, comment l’intégrer à V* ?
  
  Est-ce une multiplication de t par V* ou alors simplement un "paramétrage" V*(t) ?
  
  Merci
- 1er octobre 2007, 19:19, par Bernard Vuilleumier
  
  La vitesse relative entre les deux systèmes permet d’écrire la transformation de Galilée. Dans le code Mathematica que je vous ai donné, vous trouverez les équations horaires exprimées dans les deux systèmes (r[t] et r2[t]) et vous constaterez que la deuxième équation s’obtient à partir de la première par une transformation de Galilée.
  
  N. B. La vitesse relative est désignée par vr.
1er octobre 2007, 18:15, par Antonio

Bonjour Monsieur,

Ne disposant pas des équations paramétriques dans la correction, je me permets de vous demander si celles que j’ai écrites sont correctes ?

Algébriquement :

Position

$r_{x}(t)= d \cos{(\omega t + \phi)}$

$r_{y}(t)= d \sin{(\omega t + \phi)}$

Vitesse

$v_{x}(t)= -d \omega \sin{(\omega t + \phi)}$

$v_{y}(t)= d \omega \cos{(\omega t + \phi)}$

Accélération

$a_{x}(t)= d \omega^2 \cos{(\omega t + \phi)}$

$a_{y}(t)= -d \omega^2 \sin{(\omega t + \phi)}$

Numériquement :

Sachant que d=1 et w=1,

Position

$r_{x}(t)= \cos{(t + \frac{\pi}{2})}$

$r_{y}(t)= \sn{(t + \frac{\pi}{2})}$

Vitesse

$v_{x}(t)= -\sin{(t + \frac{\pi}{2})}$

$v_{y}(t)= \cos{(t + \frac{\pi}{2})}$

Accélération

$a_{x}(t)= -\cos{(t + \frac{\pi}{2})}$

$a_{y}(t)= -\sin{(t + \frac{\pi}{2})}$

Y’a-t-il un erreur dans ce qui précède ?

Merci Beaucoup
- 1er octobre 2007, 19:28, par Bernard Vuilleumier
  C’est la même démarche que pour l’exercice précédent. Vous écrivez l’horaire dans le premier référentiel et vous obtenez l’horaire dans le second par une transformation de Galilée :
  d = 1; omega = 1; phi = Pi/2; tinitial = 0; tfinal = Pi; deltat = Pi/5.; r[t_] := d {Cos[omega*t + phi], Sin[omega*t + phi]} (* horaire dans le premier système *) r0 = {0, 1}; vr = {-1, 0}; r2[t_] := r0 + r[t] - vr*t (* horaire dans le second système *)