Résoudre une équation différentielle avec Mathematica

Équations différentielles ordinaires

Solution générale, constante d’intégration, représentation d’une solution

Solution générale, constante d’intégration, conditions initiales et conditions aux limites. Solution particulière et représentation d’une solution d’une équation ou d’un système d’équations différentielles ordinaires.

Article mis en ligne le 18 janvier 2007

dernière modification le 30 septembre 2015

par bernard.vuilleumier

Visualizing the Solution of Two Linear Differential Equations from the Wolfram Demonstrations Project by Mikhail Dimitrov Mikhailov

Problème 1

a) Donnez la solution générale de l’équation :

$\frac{dy}{dx}=e^{-y} Cos^2(\pi x)$

Résolvons l’équation par rapport à :

sol=DSolve[{y'[x]==Exp[-y[x]]Cos[Pi x]^2},y[x],x]

Examinons la solution pour :

sol/.x->0

b) Sachant qu’en , , dessinez la solution pour $0\le x \le\pi$ .

Plot[sol[[1, 1, 2]] /. C[1] -> E, {x, 0, Pi}];

Problème 2

a) Donnez la solution de l’équation :

$y’=2x^2-\frac{y}{x}$

satisfaisant la condition initiale .
b) Représentez graphiquement cette solution pour -4 $\le x \le$ 4.

Résolvons l’équation par rapport à et représentons la :

DSolve[{y'[x]==2x^2-y[x]/x,y[1]==3},y[x],x]
Plot[%[[1,1,2]],{x,-4,4}];

Problème 3

a) Donnez la solution générale de l’équation :

$\ddot x + x = 0$

Résolvons l’équation par rapport à

sol = DSolve[x''[t] + x[t] == 0, x[t], t]

b) Déterminez la valeur des constantes d’intégration sachant qu’en , et $\dot x =2$ .

Examinons la solution pour :

sol /. t -> 0

Nous en déduisons que est égal à 1. Introduisons cette valeur dans la solution, dérivons la par rapport à et remplaçons par 0 :

D[sol[[1, 1, 2]] /. C[1] -> 1, t] /. t -> 0

Nous en déduisons que est égal à 2.

c) Dessinez la solution satisfaisant ces conditions pour variant de 0 à 2 $\pi$ .

Plot[sol[[1, 1, 2]] /. {C[1] -> 1, C[2] -> 2}, {t, 0, 2Pi}];

d) Dessinez, pour variant de 0 à 2 $\pi$ , la solution correspondant aux valeurs aux limites et $x(\frac{\pi}{2})=0$ .

Résolvons l’équation en fixant les conditions aux limites et dessinons la solution particulière qui leur correspond :

sol = DSolve[{x''[t] + x[t] == 0, x[0] == 1, x[Pi/2] == 0}, x[t], t]
Plot[sol[[1, 1, 2]], {t, 0, 2Pi}];

Problème 4

a) Établissez l’équation du mouvement sans frottement d’un pendule à partir d’un schéma sur lequel vous indiquerez toutes les forces qui agissent. Donnez les lois et relations utilisées. Expliquez votre démarche.
b) Lorsque le pendule est soumis à une force de frottement proportionnelle à sa vitesse angulaire $\frac{d\theta}{dt} = \dot \theta$ , l’équation du mouvement est donnée par :

$\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{d\theta}{dt}+sin(\theta) = 0$

Résolvez numériquement cette équation sachant qu’en =0, la vitesse angulaire $\dot\theta$ du pendule est nulle et qu’il forme un angle $\theta$ de $\frac{\pi}{4}$ avec la verticale.
c) Dessinez la solution $\theta(t)$ pour variant de 0 à 10.

Remove [x]
sol = NDSolve[{x''[t] +
   x'[t] + Sin[x[t]] == 0, x'[0] == 0, x[0] == Pi/4}, x, {t, 0, 10}]
x[t_] := sol[[1, 1, 2]][t]
Plot[x[t], {t, 0, 10}];

Problème 5

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