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Relativité restreinte. Énergie

Exercices sur l’énergie relativiste

Énergies cinétique, de masse et totale. Quantité de mouvement.

samedi 20 janvier 2007, par Bernard Vuilleumier


Exercice 1

  • a) Quelle énergie faut-il pour accélérer un électron de 0.57 c à 0.86 c ?
  • b) Et pour accélérer un électron de 0.86 c à 0.99 c ?

– Rép. 0.379 MeV, 2.621 MeV.


Exercice 2
Un proton se déplace à la vitesse 0.987 c.

  • a) Que vaut son énergie de masse ?
  • b) Que vaut son énergie totale ?
  • c) Que vaut son énergie cinétique ?

– Rép. 938 MeV, 5836 MeV, 4898 MeV.


Exercice 3
Une particule instable de masse m=3.67\times 10^{-27} kg se désintègre en deux fragments qui s’éloignent respectivement aux vitesses -0.772 c et 0.983 c. Que valent les masses de ces fragments ?

– Rép. 1.3066\times 10^{-27} kg, 2.9641\times 10^{-28} kg.


Exercice 4
L’énergie cinétique d’un proton dans un accélérateur vaut 100 GeV.

  • a) Que vaut sa vitesse ?
  • b) Que vaut sa quantité de mouvement ?

– Rép. 2.9978 \times 10^8 m/s, 5.3873 \times 10^{-17} kg m/s.


Exercice 5
Des électrons sont accélérés à une énergie de 15 GeV dans le SLAC (Stanford Linear Accelerator) qui mesure 3 km de long.

  • a) Que vaut le facteur \beta pour ces électrons ?
  • b) Quelle est leur vitesse ?
  • c) Que vaudrait la longueur de l’accélérateur s’il était observé depuis un référentiel lié à ces électrons (une fois qu’ils ont atteint cette vitesse).

– Rép. 0.9999999994, 2.99792457 \times 10^8 m/s, 10.2 cm.


Exercice 6
Une particule instable de masse m= 260 m_e se désintègre en un muon \mu de masse m_{\mu} = 206 m_e et un antineutrino \bar{\nu} de masse m_{\bar{\nu}} \approx 0. Que valent les énergies cinétiques du muon \mu et de l’antineutrino \bar{\nu} ?

– Rép. 2.866 MeV, 24.729 MeV.

Autres exercices
– sur le calcul d’erreur
– sur le mouvement
– sur les mouvements relatifs
– sur la relativité galiléenne
– sur la relativité restreinte
– sur les forces d’inertie
– sur la quantité de mouvement
– sur la gravitation
– sur l’énergie
– sur les oscillations harmoniques
– sur l’énergie et les oscillations
– sur la rotation de solides rigides
– sur la notion de flux
– sur les grandeurs de l’électromagnétisme et leurs relations
– sur le mouvement de particules chargées dans un champ électrique
– sur l’induction et l’auto-induction

Messages

  • Bonsoir,

    étant donné que nous n’avons pas traité en classe les exercices 5 et 6, font-ils partie du champ de l’épreuve de mardi ou non ?

    Bonne soirée.

    • Bonsoir,

      Oui, les connaissances requises pour résoudre ces exercices font partie du champ de l’épreuve car nous les avons déjà utilisées pour résoudre d’autres exercices. Il s’agit, pour l’exercice 5, d’isoler β de l’expression de l’énergie totale pour obtenir la vitesse et pour l’exercice 6 de postuler la conservation de l’énergie totale et de la quantité de mouvement, de résoudre les deux équations ainsi obtenues par rapport aux vitesses β puis de substituer ces vitesses dans l’expression de l’énergie cinétique.

    • Certes, mais cela ne suffit pas à ce que nous arrivions à résoudre ces exercices :

      – dans l’exercice 5, qu’est-ce que le facteur \gamma que vous nous demandez ? De même, pourriez-vous donner les formules à poser étape par étape (sans code Mathematica, merci)

      – dans l’exercice 6 nous n’avons pas \beta et si l’antineutrino a une masse environ égale à 0, nous obtenons comme équation pour l’énergie cinétique : E_cin = 0-0. Donc, comment le résoudre ? (même question que pour l’exercice 5)

    • Bonsoir,

      – Nous avons vu, dès le mois d’octobre, différentes formes de la transformation de Lorentz et vous avez reçu un document dans lequel le facteur gamma est défini.
      – Exercices 5 et 6

      • Exercice 5. Vous devez résoudre l’expression donnant l’énergie totale E par rapport à β (une équation à une inconnue, j’ose espérer que vous savez le faire !) À tout hasard, je vous donne la solution :
        \beta=±\sqrt{1-\frac{m^2}{E^2}}
      • Exercice 6. L’énergie totale et la quantité de mouvement se conservent, ce qui permet d’écrire deux équations (que nous avons déjà écrites pour résoudre l’exercice 3). Il faut ensuite résoudre ces équations par rapport à \beta_1 et à \beta_2.

  • Bonsoir,

    Je ne comprends pas la démarche de l’exercice 4, le a (et donc le b).

    N’ayant vu les MeV que durant les 90 minutes du dernier cours, je préfère utiliser les unités S.I.

    Je pose d’abord :

    E_{cin}=E_{totale}-E_{masse}

    E_{cin} = \frac{m_{p} c^2}{\sqrt{1-\beta^2}} - m_{p} c^2

    (E_{cin} + m_{p} c^2) \sqrt{1-\beta^2} = m_{p} c^2

    \sqrt{1-\beta^2} = \frac{m_{p} c^2}{E_{cin} + m_{p} c^2}

    -\beta^2 = (\frac{m_{p} c^2}{E_{cin} + m_{p} c^2})^2 - 1

    \beta = \sqrt{1-(\frac{m_{p} c^2}{E_{cin} + m_{p} c^2})^2}

    \beta = \frac{v}{c}

    v = c \sqrt{1-(\frac{m_{p} c^2}{E_{cin} + m_{p} c^2})^2}

    Je calcule alors, en fonction des données de la table CRM et en transformant les GeV en J comme suit :

    E_{cin}=100 GeV

    E_{cin}=100’000 MeV

    E_{cin}=100’000*1.60217733*10^-19 J

    E_{cin}=100’000*1.60217733*10^-14 J

    Le résultat que je trouve (je ne vois pas où est l’erreur) :

    v = 4.376596865*10^6 m/s

    Toutefois, en utilisant les formules de la colonne cours j’arrive au même résultat que le corrigé. Comment est-ce possible puisque ces formules (des deux colonnes) sont sensées être équivalentes ?

    Merci Beaucoup

    • Bonsoir,

      Vos expressions littérales sont justes, mais vos conversions d’unités comportent des erreurs. C’est tout l’intérêt de travailler en eV, cela diminue le risque d’erreur ! Mais libre à vous d’utiliser les unités MKS. Toutefois, c’est 1 eV qui est égal à 1.6 * 10-19 J et pas 1 MeV comme vous l’écrivez.

  • Bonsoir,

    Aurons-nous droit aux calculettes programmables durant l’épreuve ?

    Merci d’avance

    • Bonsoir,

      Oui, oui, oui, oui. Mais ce n’est pas nécessaire de poser quatre fois la question !

  • Bonsoir,

    Dans le corrigé Mathematica, à l’exercice 3, je ne comprends pas conceptuellement la seconde équation que vous posez dans le Solve :

    m1/Sqrt[1 - b1^2]*b1 + m2/Sqrt[1 - b2^2]*b2 == 0

    Comment ce fait-il que l’addition de ces 2 quantités de mouvement vaille 0 ?

    Merci Beaucoup

    • Car la quantité de mouvement est la même avant et après que la particule se désintègre. Puisque que la particule est immobile au départ alors sa quantité de mouvement est égale à 0 (loi de la conservation de la quantité de mouvement).

    • La quantité totale de mouvement est conservée. Comme elle est nulle avant la désintégration (la particule est au repos ou observée dans un système qui lui est lié), elle doit aussi être nulle après, d’où l’équation posée.

  • Bonsoir malgré vos explications je ne comprend pas les exercices 4 et 6. Pourriez-vous donner quelques informations supplémentaire. Merci d’avance

    • Bonsoir,

      – Exercice 4. À partir de l’énergie cinétique et de la masse du proton on peut exprimer son énergie totale E (E = Énergie cinétique + Énergie de masse) puis trouver sa vitesse \beta, et finalement sa quantité de mouvement p (p = \betaE).
      – Exercice 6. L’énergie totale et la quantité de mouvement se conservent, ce qui permet d’écrire deux équations (que nous avons rencontrées dans l’exercice 3) qu’on résout par rapport à \beta_1 et \beta_2.

  • Bonjour Bernard,
    Il me semble que la réponse de l’exercice 5a) est fausse puisque le facteur gamma ne peut prendre que des valeurs comprise dans l’intervalle (1 ;infini(, or la réponse est une valeur < 1 !
    Cordialement.
    Pascal R

  • Bonjour Pascal,
    Merci pour cette lecture attentive. Quelle chance a l’équipe Math & Sciences de pouvoir compter sur tes compétences. C’est grâce à des personnes comme toi que nous améliorerons la qualité de nos sites. C’est évidemment le facteur β qui est donné dans la réponse et pas γ.

    En posant E = \frac{m}{\sqrt{1-\beta^2}} = \gamma m} on trouve γ= 29354

    J’ai modifié l’énoncé, mon intention était bien de demander la valeur de β !

  • Bonjour,

    À l’exercice 5, question a). La réponse ne devrait-elle pas être "0.9999999994c" plutôt que "0.9999999994" ? Car il s’agit de donner la valeur de \beta qui s’exprime en fonction de c.