Les rotations dans le plan, la transformation de Galilée et celle de Lorentz peuvent s’exprimer à l’aide de matrices.
par Bernard Vuilleumier
La transformation de Galilée peut s’obtenir comme limite de la transformation de Lorentz. Les rotations et la transformation de Lorentz laissent chacune une grandeur invariante : la distance pour les rotations et l’intervalle pour la transformation de Lorentz.
Rotation
Quatre points ont les coordonnées :
dans un système de référence ∑. Dans un autre système de référence ∑’, ils ont les coordonnées :
a) Vérifiez que la distance séparant ces points de l’origine est la même dans les deux systèmes de référence.
b) De quel angle ∑’ a-t-il tourné par rapport à ∑ ?
Rotation. Corrigé
a) La distance entre le point (x, y) et l’origine est donnée par :
b) Définissons la matrice de rotation du point autour de l’origine mr :
En résolvant l’équation :
on obtient la rotation subie par le point. Le système de référence a donc subi une rotation de sens opposé de -Pi/6
Transformation de Galilée
Quatre événements ont les coordonnées :
dans un système de référence ∑. Dans un autre système de référence ∑’, ils ont les coordonnées :
A quelle vitesse le système ∑’ se translate-t-il par rapport à ∑ ?
Galilée. Corrigé
b) Définissons la matrice de la transformation de Galilée mG :
a) En résolvant l’équation :
on obtient la vitesse de translation.
N. B. Il faut choisir un événement dont la coordonnée temporelle est différente de 0.
Transformation de Lorentz
Quatre événements ont les coordonnées :
dans un système de référence ∑. Dans un autre système de référence ∑’, ils ont les coordonnées :
a) Vérifiez que l’intervalle séparant ces points de l’origine est le même dans les deux systèmes de référence.
b) A quelle vitesse le système ∑’ se translate-t-il par rapport à ∑ ?
c) Si on exprime la matrice de la transformation sous la forme :
que vaut l’angle θ ?
Lorentz. Corrigé
a) L’intervalle séparant les événements de l’origine est conservé par la transformation :
b) c) Définissons la matrice de la transformation :
et résolvons l’équation :
d) Il faut utiliser la forme suivante de la transformation de Lorentz et prendre la limite lorsque c tend vers l’infini :
e) L’angle theta (en radian) s’obtient avec la relation :
N. B. La fonction N permet d’obtenir la valeur numérique approchée de l’angle. Si on ne l’utilise pas Mathematica laisse l’entrée inchangée (valeur exacte).
En degré :
