Les phénomènes de croissance concernent surtout la matière vivante (on peut toutefois en observer quelques-uns dans le monde de la matière inaminée : croissance des glaciers, des stalagmites, des stalactites, des cristaux, etc.)

Nous allons construire quelques modèles qui permettent de simuler des phénomènes de croissance.

Un modèle permet de représenter un phénomène (shéma, dessin, graphique, etc.). Exemple : nous pouvons représenter une population à l’aide d’un réservoir. Pour faire évoluer une population, il faut modifier le contenu du réservoir, ce qui peut se faire en lui connectant un flux (tuyau avec valve).

Une fois le modèle terminé. c’est-à-dire, lorsque toutes les valeurs initiales et les relations sont données, nous pouvons l’utiliser pour simuler l’évolution de la population.

Commençons avec un modèle très simple qui ne comporte qu’un réservoir (population), qu’un flux (naissances par unité de temps) et un lien (relation entre le réservoir et le flux).

La chose la plus difficile et délicate lorsqu’on construit un modèle, c’est de ne pas postuler plus de relations que nécessaire et c’est de les formuler de la manière la plus simple possible.

Exercice

Vous observez la croissance d’une population de bactéries et vous estimez périodiquement l’effectif de la population. Vous établissez un graphique et vous obtenez quelque chose qui ressemble à

À partir de ces données expérimentales, nous allons construire un modèle qui devrait permettre de reproduire cette évolution.

1. Nous dessinons la "carte" du modèle (shéma un réservoir, un flux, et un lien).

2. Nous passons ensuite au niveau des définitions (en cliquant sur le bouton qui représente le monde, en haut à gauche de la fenêtre). Il apparait alors des points d’interrogation dans le réservoir et dans la vanne du flux.

3. Pour faire disparaître ces points d’interrogation, nous devons donner la valeur initiale de la population (nombre d’individus au temps t=0). Ce nombre se lit sur le graphique. Attention, il faut bien observer les échelles.

On lit pour, t=0 approximativement 10. Nous plaçons donc 10 comme valeur initiale dans le réservoir. Dans la vanne du flux, ce n’est pas un nombre que nous devons indiquer, mais une relation (cette vanne est en effet liée à la population, ce qui signifie que les naissances dépendent de la population). Nous supposons une relation de proportionnalité entre le nombre de naissances par une unité de temps et la population, ce qui peut s’écrire :

Naissances par unité de temps = constante*Population

Ce qui signifie que les naissances par unité de temps sont proportionnelles à la population.

Cours du mardi 29 janvier
Classe entière

Phénomènes de croissances
– Observations
– Hypothèses
– Représentations, modèles

Première observation

On observe très fréquemment des croissances très rapides qu’on appelle exponentielles. Dans le mot exponentielle, il y a le mot exposant. Voici un exemple de relation exponentielle

Pour la croissance d’une population de N individus, cette relation s’écrirait

Dans cette expression, N représente le nombre d’individus, N0 le nombre initial (lorsqu’on commence l’observation, au temps t =0) et t le temps qui s’écoule. Pour avoir l’image, vous écrivez :

Nous allons examiner (sans Stella) différentes croissances à partir de cette expression. Remplir le tableau suivant pour l’expression :