La notion de flux est une notion très générale qui s’applique à n’importe quel champ vectoriel. Dans certains cas, le flux net d’un champ vectoriel à travers une courbe fermée peut s’évaluer visuellement sans qu’il soit nécessaire de le calculer. Nous examinons ici comment procéder pour réaliser cette évaluation.

La notion de flux est une notion très générale qui s’applique à n’importe quel champ vectoriel. En électromagnétisme par exemple, le flux du champ électrique à travers une surface fermée est proportionnel à la somme algébrique des charges électriques situées à l’intérieur de cette surface (loi de Gauss), tandis que le flux du champ magnétique à travers une surface fermée est toujours nul, ce qui exprime le fait que le champ magnétique ne possède ni source ni puits et que ses lignes sont toujours fermées. En hydrodynamique, la vitesse d’écoulement d’un fluide peut être représentée par un champ vectoriel. Le flux de ce champ à travers une courbe fermée mesure le débit de fluide à travers cette courbe.

Fig. 1 : L’écoulement d’un cours d’eau peut être représenté par un champ de vecteurs. En associant à chacune des fines particules flottant à la surface de l’eau une flèche donnant sa vitesse, on pourrait par exemple obtenir une image semblable à l’image de gauche ci-dessus. Le flux de ce champ à travers une courbe fermée donne le débit net à travers cette courbe.

Un bon moyen d’estimer visuellement le flux net (entrant moins sortant) d’un champ vectoriel à travers une courbe consiste à ne retenir que des flèches dont les origines se trouvent sur la courbe et à dessiner les composantes normales à la courbe de ces vecteurs.

Fig. 2 : Le flux net à travers une courbe fermée peut être évalué visuellement dans certains cas en examinant les composantes normales à la courbe de vecteurs issus de cette courbe.
La figure de droite fait ainsi apparaître un flux net « sortant » pour ce champ vectoriel.

Activités

Exercice 1
1. Dessinez quelques vecteurs du champ v(x, y)=m(x, y), n(x, y) défini par :
• m(x, y)=0.4(y-1)
• n(x, y)=0.1(x-1)
2. Comment le champ est-il modifié si vous changez :
a) le signe de la fonction m(x, y) donnant la composante x des vecteurs du champ ?
b) le signe de la fonction n(x, y) donnant la composante y des vecteurs du champ ?
c) le signe des deux fonctions m(x, y) et n(x, y) ?

Exercice 2
1. Dessinez la courbe fermée définie par :
• x(t)=1.5 cos(t)-0.5
• y(t)=sin(t)
en faisant varier le paramètre t de 0 à 2π.
2. Superposez-la, en différents endroits, aux champs de vecteurs définis ci-dessous que vous dessinerez dans le domaine -1≤ x ≤1 et -1 ≤ y ≤ 1.

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