Lorsqu’on recherche des solutions qui sont des nombres entiers ou rationnels dans une équation, on l’appelle équation diophantienne. Ce sujet est étudié depuis Diophante qui vécut à Alexandrie au III^e siècle de notre ère. L’étude de ces équations s’avère difficile et beaucoup de problèmes diophantiens ont joué un rôle important dans l’histoire des mathématiques. Ils sont, aujourd’hui encore, considérés comme de grands classiques.

Lorsqu’on recherche des solutions qui sont des nombres entiers ou rationnels dans une équation, on l’appelle équation diophantienne. Ce sujet est étudié depuis Diophante qui vécut à Alexandrie au III^e siècle de notre ère. L’étude de ces équations s’avère difficile et beaucoup de problèmes diophantiens ont joué un rôle important dans l’histoire des mathématiques. Ils sont, aujourd’hui encore, considérés comme de grands classiques. Le critère permettant de décider si une équation diophantienne a une infinité de solutions ou non repose par exemple sur une conjecture (de Birch et Swinnerton-Dyer) non démontrée à ce jour. Cette question figure parmi les sept problèmes du troisième millénaire dotés d’un prix d’un million de dollars !

Fig. 1 : L’équation 1+12 x+2 +7y+5 x y+2 = 0 possède une infinité de solutions. Ce sont les coordonnées des points appartenant aux hyperboles partiellement représentées ci-dessus. Mais cette équation ne possède que trois solutions entières données par les coordonnées des points rouges.

Activités proposées

1. Résoudre une équation

Résolvez l’équation ci-dessous :
a) a + bx + c = 0
b) Exprimez, à l’aide des coefficients a, b et c, la condition pour que l’équation possède :
• deux solutions réelles distinctes
• deux solutions réelles confondues
• deux solutions complexes

2. Résoudre un système d’équations

Résolvez le système d’équations ci-dessous :

+ = 1
+ 2=

a) pour x et y
b) en éliminant d’abord y et en résolvant ensuite pour x
c) Dessinez les courbes correspondant à ces deux équations

3. Résoudre une équation diophantienne

Résolvez les équations ci-dessous pour des valeurs entières de x et de y :
a) 1+12 x+2 +7y+5 x y+2 = 0
b) 7 + 5x + + 7y +3xy + = 0
c) - 61 = 1
d) - 2xy + + 5x - 7y = 22
e) 23 + 17 = 1693339429465935072912802926367922572800 avec x > 0 et y > 0
f)  - 4x + = 1

Pour en savoir plus
• Les dossiers de La Recherche n° 20. Août - Octobre 2005. Mathématiques. Nouveaux défis et vieux casse-tête.

Corrigé des exercices

Voir aussi
– Equations diophantiennes
– Problèmes du millénaire
– Equations de Thue
– Coincidences in Powers of Integers from Wolfram Demonstrations Project.

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