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Équations différentielles ordinaires

Exercices sur les équations différentielles

Ordre d’une équation, solution générale, constante d’intégration

Nature (ODE ou PDE), ordre et linéarité, solution générale, constante d’intégration et solution particulière d’une équation différentielle.

Article mis en ligne le 27 novembre 2006

dernière modification le 18 juin 2013

par bernard.vuilleumier

Les équations différentielles peuvent être classées selon différents critères. Le premier critère permet de distinguer les équations différentielles ordinaires des équations aux dérivées partielles. Le deuxième critère autorise un classement des équations selon leur ordre et le troisième permet d’identifier les équations linéaires.

Exercice 1
Quelles sont les équations, parmi les exemples ci-dessous, qui sont des équations différentielles ordinaires ?

$\frac{dy}{dx}=\frac{x^2}{y^2cos(y)}$
$\frac{dy}{dx}+\frac{du}{dx}=u+x^2y$
$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}$
$\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}$

– Rép. Équations 1, 2, 3 et 5.

Exercice 2
Quel est l’ordre de chacune des équations différentielles suivantes ?

$\frac{dy}{dx}=\frac{x^2}{y^2cos(y)}$
$u_{xx}+u_{yy}=0$
$(\frac{dy}{dx})^4=y+x$
$y^3+\frac{dy}{dx}=1$

– Rép. Équations 1, 3, 4 et 5 : premier ordre. Équation 2 : second ordre.

Exercice 3
Quelles sont, parmi les équations différentielles suivantes, celles qui sont linéaires ?

$\frac{dy}{dx}=x^3$
$\frac{d^2u}{dx^2}+u=e^x$
$\frac{d^3y}{dx^3}+y\frac{dy}{dx}=x$
$\frac{dy}{dx}+x^2y=x$
$\frac{d^2x}{dt^2}+sin(x)=0$

– Rép. Équations 1, 2 et 5.

Exercice 4

Écrivez l’équation différentielle qui exprime la vitesse d’un mobile selon l’axe y lorsqu’il est soumis à une accélération a constante.
Quel est l’ordre de cette équation ? Est-elle linéaire ?
Donnez la solution générale de cette équation.
Représentez quelques solutions particulières en attribuant différentes valeurs à la constante d’intégration.

Exercice 5

Écrivez l’équation différentielle décrivant le mouvement d’une masse m accrochée à un ressort de raideur k.
Quel est l’ordre de cette équation ? Est-elle linéaire ?
Donnez la solution générale de cette équation.
Trouvez la valeur des constantes d’intégration en introduisant les conditions initiales suivantes dans la solution générale : y(0)=0 et y’(0)=1 m/s. Donnez la solution particulière correspondant à ces conditions initiales.
Trouvez la valeur des constantes d’intégration en introduisant les conditions aux limites suivantes dans la solution générale : y(0)=0 et y(1/4)=1/10 m. Donnez la solution particulière correspondant à ces conditions aux limites.
Cherchez les solutions particulières en introduisant d’emblée les conditions initiales et les conditions aux limites dans la résolution de l’équation.

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