Problème qui met en scène un parachutiste qui saute à une certaine altitude. Il doit atterrir au sol à une certaine vitesse le plus rapidement possible. Résolution à l’aide du programme Stella.
Le but de cette article est de vous présenter la simulation d’un saut en parachute. D’abord le modèle d’une chute libre puis, comment simuler l’ouverture du parachute. La question sera aussi de trouver le meilleur moment pour ouvrir son parachute et atterrir au sol avec une vitesse de 10 m/s, tout ça le plus rapidement possible.
Situation initiale
Un parachutiste de 80 kg (matériel compris) saute d’un avion à un altitude de 1000 mètre au dessus du sol. Nous devons trouver le moment idéal où il faut qu’il ouvre son parachute et qu’il atterrisse à une vitesse égale ou inférieure à 10 m/s (car à plus de 10 m/s, sa chute risquerait de faire un peu mal).
Lors du saut 2 forces interviennent, la force de pesanteur et la force de frottement. Ces 2 forces sont définies comme ceci :
– Force de pesanteur :
- Poids = m*g
– Force de frottement :
- Ffrott = 1/2*
*S*Cx*v²
Voici une représentation schématisée du parachutiste et des forces qui agissent sur celui-ci.
Comme vous pouvez le voir, les 2 forces sont opposées. La force de pesanteur va vers le bas et la force de frottement est dirigée vers le haut.
Utilisation de Stella
Et maintenant, voici les valeurs initiales du modèle de base (parachutiste en chute libre) :
| Données numériques | |
|---|---|
| r | 0.75 m |
| ? | 1.293 kg/m³ |
| S | 0.5 m² |
| Cx | 1 |
| m | 80 kg |
| g | 9.8 m/s² |
| vinitial | 0 m/s |
| xinitial | 1000 m |
| durée d’ouverture du parachute | 3 s |
Puis, la construction du modèle Stella du parachutiste en chute libre :
Ne pas oublier que les 2 flux doivent être en Biflow et qu’il faut décocher la case "non-negative" à x et v.
– Il s’agit maintenant d’ouvrir le parachute. Pour simuler cette ouverture nous devons prendre en compte 3 nouvelles données :
- le temps de l’ouverture
- la durée de l’ouverture
- le rayon du parachute
Il faut aussi savoir que l’ouverture du parachute implique la fonction STEP qui doit être lissée par SMOOTH car le parachutiste ralentit d’une manière progressive. (cf Fonctions STEP et SMTH pour en savoir plus sur ces 2 fonctions). Ces nouvelles données doivent être appliquées à S, car c’est la section apparente du parachutiste qui s’agrandit et qui augmente la force de frottement.
Le modèle Stella aura donc cette forme :
avec les données suivantes :
La question était de trouver le temps ultime pour ouvrir son parachute et d’arriver au sol à une vitesse de 10 m/s tout en minimisant le temps de chute.
Par tâtons, nous avons donc trouvé que le temps d’ouverture optimal était 36 secondes.
Ce qui nous donne le graphique suivant :
Donc, la grandeur de la vitesse à la position x = 0 est bien égal à 10. Le temps de chute total est égal à 42 secondes.
Conclusion
Par tâtons, nous avions trouvé que le moment ultime était de 36 secondes. Il faut donc que notre parachutiste ouvre son parachute après 36 secondes de chute libre. Il atterrira au sol à une vitesse de 10 m/s, après 42 secondes.
Cette valeur n’est en fait qu’une approximation. La valeur exacte se situe entre 35 et 36 secondes. Il aurait fallu faire une recherche un peu plus poussée (à l’aide des tableaux par exemple) pour avoir cette valeur.