Comment trouver, en utilisant le logiciel Stella, la distance et la durée du freinage d’une voiture dont on connaît la décélération ?
Le conducteur d’une voiture se retrouve confronté à un freinage d’urgence. Combien de temps mettra-t-il pour s’arrêter et quelle sera sa distance d’arrêt, connaissant sa vitesse avant le freinage ainsi que sa décélération ?
Problème posé :
Un conducteur, conduisant sa voiture à la vitesse de 90 km/h, voit soudainement surgir un lièvre sur sa trajectoire. Ne voulant pas écraser l’animal, il freine fortement de manière à s’arrêter et sauve ainsi la bête. Sa voiture subit donc une décélération (décélération = accélération négative ou réduction de la vitesse d’un mobile), qui permet au conducteur de diminuer sa vitesse dans le but de s’arrêter. Ce problème devient très intéressant car concret et quotidien : il nous permet de connaître la distance et la durée du freinage d’une voiture devant s’arrêter urgemment. Le logiciel Stella nous permet alors de représenter graphiquement ce problème et d’en trouver également la solution numérique. Une animation intéressante concernant ce type de problème se trouve sur ce site : pour voir l’animation [1].
Valeurs numériques du problème (choisies arbitrairement) :
- Vitesse initiale : 90 km/h (= 25 m/s)
- Accélération a en fonction du temps t :
| t en s | a en m/s2 |
|---|---|
| 0 | 6.00 |
| 0.5 | 5.97 |
| 1 | 5.91 |
| 1.5 | 5.82 |
| 2 | 5.64 |
| 2.5 | 5.37 |
| 3 | 5.07 |
| 3.5 | 4.59 |
| 4 | 4.02 |
| 4.5 | 3.21 |
| 5 | 1.90 |
| 5.5 | 0.00 |
| 6 | 0.00 |
Introduction au logiciel Stella :
Stella est un logiciel servant à trouver une solution numérique et graphique à divers problèmes. Ce logiciel représente les grandeurs que l’on peut additionner (exemple : population) par un « réservoir » (symbolisé par un rectangle, dans la barre d’outils du logiciel), tandis qu’il se sert d’un « flux » (symbolisé par un tuyau avec une valve, dans la barre d’outils du logiciel) pour représenter des grandeurs dites « instantanées » (exemple : puissance). Le « lien » (symbolisé par une flèche rose, dans la barre d’outils du logiciel) sert à établir une relation entre un flux et un réservoir.
Le modèle de base de tout exercice réalisé sur Stella est un flux relié a un réservoir.
Il est également important de remarquer que les flux peuvent être sous une forme monoflow ou biflow (double-cliquer sur le flux et cocher le mode choisi présent dans le fenêtre grise), ce qui représente la capacité d’une grandeur en fonction d’un certain problème à être positive ou négative. Plus précisément, le mode monoflow peut être imagé par une valve, que l’on ouvrirait et fermerait mais dont le liquide qui en sortirait ne pourrait en aucun cas remonter vers sa source ; le mode biflow serait représenté par un simple tuyau, le liquide pouvant descendre et remonter, la grandeur pouvant être positive ou négative. Le mode monoflow est représenté par une simple flèche, tandis que le mode biflow est représenté par une double flèche.
Il est également conseillé lors de l’utilisation de Stella d’affiner au maximum la méthode du logiciel afin que les solutions trouvées soient les plus fiables et précises possibles : il faut donc choisir la méthode "Runge-Kutta 4" (Run-Run Specs-Integration Method-Runge-Kutta 4) à la place de la méthode "Euler", choisie à la base par le logiciel.
Résolution du problème dans Stella :
Nous avons besoin du modèle de base de Stella afin de réaliser cet exercice : un flux relié à un réservoir. Néanmoins, il faut également ajouter au modèle de base un deuxième modèle identique, relié au premier par un lien entre le premier réservoir et le deuxième flux. Nous avons donc ici deux modèles de base reliés, ce qui représente un problème à une dimension (nous étudions la trajectoire du véhicule par rapport à sa position x, et non par rapport à y, puisqu’elle n’a pas de mouvement sur l’axe des ordonnées) : en effet, nous supposons que la voiture ne subit que des forces horizontales et non des forces verticales (la force de pesanteur est compensée par la force de soutien de la route). Les grandeurs représentées dans ce problème par les éléments de Stella sont les suivantes : le premier flux représente ici la décélération du véhicule en m/s2, tandis que le premier réservoir représente l’évolution de la vitesse en m/s. Le deuxième flux reprend la vitesse du véhicule (lien reliant le premier réservoir au deuxième flux), tandis que le deuxième réservoir représente l’évolution de la position du véhicule en m.
Le logiciel réalise en fait l’intégration de la grandeur représentée par le flux (ici : la décélération). Il est primordial de comprendre que Stella utilise la courbe de la décélération, l’intègre et trouve ainsi l’évolution de la vitesse. En effet, l’aire d’un petit rectangle situé sous la courbe est trouvée par la multiplication de sa hauteur (= accélération) par sa largeur (= temps), ce qui nous donne bien la vitesse (v=at) !
Les deux flux sont sous leur forme biflow, bien que le premier soit retourné, il a sa flèche bleue retournée vers la droite (on peut faire cela en maintenant la touche Ctrl appuyée et en cliquant sur la flèche à retourner) car le véhicule subit une décélération (accélération négative : l’eau "remonte" dans le tuyau !).
Il reste encore à représenter la conversion des m/s en km/h. Nous pouvons pour cela ajouter une "sphère" (représentée par un rond, dans la barre d’outils du logiciel) reliée au réservoir de la vitesse par un lien. Cette nouvelle grandeur sera la vitesse en km/h, le réservoir représentant la vitesse en m/s.
Il nous faut désormais entrer les valeurs de l’exercice : il faut tout d’abord cliquer sur la touche tout à gauche du logiciel, représentant la Terre. La Terre se transforme alors en x2 et des points d’interrogations apparaissent dans les réservoirs, les sphères et les flux.
Il est maintenant possible d’introduire les différentes valeurs : un double-clique sur le réservoir de la vitesse afin d’y entrer la valeur de 25 m/s, position initiale de 0 m pour le deuxième réservoir, le flux de la vitesse reprenant la vitesse elle-même. Pour entrer les valeurs de l’accélération, il est nécessaire de suivre une petite démarche : double-cliquer sur le flux "accélération", écrire "TIME" (tel quel, en majuscule), cliquer sur le bouton en bas de la fenêtre grise "Become Graphical Function", placer ensuite les valeurs (en m/s2) dans le tableau de droite de la nouvelle fenêtre.
Il est finalement nécessaire de représenter le lien entre la vitesse en m/s et la vitesse en km/h : la valeur de la vitesse en km/h sera donc représentée par la multiplication de la vitesse en m/s (premier réservoir) par 3,6 (coefficient nécessaire pour passer des m/s en km/h).
- Graphique de la décélération du véhicule :
- Modélisation du problème par Stella :
Nous arrivons désormais à la résolution du problème : il nous faut introduire un graphique dans notre programme Stella (touche rose représentant un graphique, dans la barre d’outils du logiciel) et sélectionner les grandeurs "Position x" et "Vitesse en km par h" (double-cliquer sur le graphique puis sélectionner dans le tableau de gauche de la nouvelle fenêtre les grandeurs désirées avant de les faire passer dans le tableau de droite par la petite flèche du milieu).
- Graphique de l’évolution de la position et de la vitesse du véhicule :
Position x /
Vitesse en km/h
La solution du problème se trouve à présent sous nos yeux : il suffit de déplacer le curseur de la souris sur le graphique (en maintenant le bouton gauche de la souris appuyé) et de se placer sur la valeur de la vitesse valant zéro (voiture arrêtée) pour trouver notre durée et notre distance de freinage.
Nous remarquons que pour que le véhicule, lancé à 90 km/h, s’arrête totalement, il lui faut 5,15 secondes et 55,75 mètres.
Bilan :
Le logiciel Stella a ici permis de trouver la durée et la distance nécessaire à un arrêt pour un véhicule roulant à 90 km/h. Nous remarquons par ce problème l’utilité d’un tel programme, qui, simplifiant les calculs et les démarches mathématiques indispensables à la réalisation de ce type d’exercice, a un bel avenir devant lui...