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Dynamique du solide rigide

Exercices sur la rotation des solides rigides

Rotation. Solide rigide. Axe fixe. Moment d’inertie. Couple et moment de rappel

jeudi 8 février 2007, par bernard.vuilleumier

Exercices extraits de J. Cessac, G. Tréherne, Physique, classe terminale C. Fernand Nathan, Paris 1967.



Exercice 1
Un treuil est constitué d’un cylindre homogène de masse M=20 kg, de rayon r=10 cm et d’axe Z. Une corde enroulée sur le treuil soutient un solide S de masse m=10 kg. Les masses de la corde et de la manivelle ainsi que toutes les résistances passives (frottements et résistance de l’air) sont négligeables. Calculez :

  1. la tension T de la corde en situation d’équilibre ou de rotation uniforme
  2. l’accélération angulaire \alpha du treuil si on lâche la manivelle
  3. l’accélération linéaire a du solide S dans sa chute lorsqu’on lâche la manivelle.

- Rép. 98.1 N, 49.05 rad/s2, 4.905 m/s2.



Exercice 2
Un petit gyroscope cylindrique de masse m=100 g et de 5 cm de rayon tourne autour de son axe à raison de 3600 tours par minute. Sachant qu’il s’arrête en 3 minutes sous l’action de résistances passives équivalentes à un couple que vous supposerez constant, calculez :

  1. l’accélération angulaire \alpha du gyroscope
  2. le moment \mathcal{M} du couple résistant
  3. le nombre de tours n effectués entre le début du ralentissement et l’arrêt.

- Rép. -\frac{2\pi}{3} rad/s2, -2.62\times 10^{-4} Nm, 5400.



Exercice 3
Un cylindre homogène de rayon r=10 cm et de masse m_{cyl}=1 kg peut tourner autour de son axe de révolution horizontal Z. Il soutient un solide S de masse M=10 kg par l’intermédiaire d’une corde enroulée sur le cylindre. Le cylindre est traversé, suivant un diamètre, par une tige t portant à ses extrémités deux masses égales de valeur m=0.5 kg, pratiquement confondues avec leurs centres de gravité situés à une distance l=50 cm de l’axe Z. Le système est abandonné à lui-même sans
vitesse initiale. Calculez, en négligeant les masses de la corde et de la tige t ainsi que les résistances passives :

  1. l’accélération linéaire a du mouvement de S
  2. la tension T du brin qui supporte S pendant ce mouvement
  3. le nombre de tours n effectués par le cylindre depuis le départ jusqu’au moment où la corde quitte le cylindre sachant que la masse M est alors descendue d’une hauteur h=5 m
  4. la vitesse angulaire \omega du cylindre à ce moment là.

- Rép. 2.76 m/s2, 70.47 N, 7.96, 52.57 rad/s.



Exercice 4
Un fil de masse négligeable passe sur la gorge d’une poulie de 100 g et de rayon r=6 cm. Vous supposerez que la poulie tourne sans frottement autour d’un axe horizontal et que toute la masse de la poulie est répartie sur sa circonférence. Le fil porte une masse M=300 g et une masse m=100 g. La masse M se trouve à 3 m au-dessus du sol et la masse m est au niveau du sol sans toutefois y reposer. Vous abandonnez le système à lui-même au temps t=0. Calculez :

  1. l’accélération prise par la masse M
  2. la tension T dans chaque brin pendant le mouvement
  3. la vitesse v de M lorsqu’elle arrive au sol
  4. la vitesse angulaire \omega de la poulie lorsque M arrive au sol
  5. la force tangentielle F qu’il faut appliquer à la poulie pour qu’elle s’arrête après 6 tours, le fil supportant m étant coupé quand M arrive au sol.

- Rép. 3.92 m/s2, 1.77 et 1.37 N, 4.85 m/s, 80.87 rad/s, 0.52 N.



Exercice 5
Le pendule à ressort spiral qui règle le mouvement d’une montre a un moment d’inertie par rapport à l’axe de rotation de 10^{-6} kgm^2 et une période de 0.5 s. Calculez :

  1. la constante C du couple de rappel ;
  2. la vitesse angulaire \omega maximale quand l’amplitude vaut \pi radians
  3. le moment du couple de rappel quand l’amplitude vaut \theta=\frac{\pi}{4}.

- Rép. 1.58 \times 10^{-4} Nm, 39.48 rad/s, 1.24 \times 10^{-4} Nm.

Autres exercices
- sur le calcul d’erreur
- sur le mouvement
- sur les mouvements relatifs
- sur la relativité galiléenne
- sur la relativité restreinte
- sur les forces d’inertie
- sur la quantité de mouvement
- sur la gravitation
- sur l’énergie
- sur l’énergie relativiste
- sur les oscillations harmoniques
- sur l’énergie et les oscillations
- sur la notion de flux
- sur les grandeurs de l’électromagnétisme et leurs relations
- sur le mouvement de particules chargées dans un champ électrique
- sur l’induction et l’auto-induction

Messages

  • Bonjour,

    Quelle(s) équation(s) pose-t-on au départ pour résoudre le point 2 ?

    Le corrigé Mathematica indique :

     \alpha = \frac{m g r}{\frac{M r^2}{2}+ m r^2}

    mais pas comment on y arrive.

    Merci Beaucoup

    • Bonjour,

      Pour trouver l’accélération d’un solide rigide soumis à des moments de force, on utilise la relation fondamentale de la dynamique adaptée à ce cas. Cette relation dit que la somme des moments de force exercés sur le solide est égale au moment d’inertie de ce solide multiplié par son accélération angulaire. Des exemples sont traités en détail dans l’article Machine d’Atwood et treuil que je vous conseille de consulter.

  • Bonjour,

    Je n’arrive pas à faire cette exercice, pourriez-vous me donner un coup de pouce ? Quelle est la formule que je dois utiliser pour trouver l’accélération d’après les valeurs qui nous sont données ? Et à quoi correspond 3600 tours par minutes, est-ce la vitesse ?

    Merci d’avance

    • Bonjour,

      3600 tours par minute correspondent à une vitesse angulaire ω, qu’il faut exprimer en radian par seconde. L’accélération angulaire α s’obtient en divisant la variation de vitesse angulaire Δω par Δt. Une fois l’accélération angulaire connue, la relation fondamentale de la dynamique appliquée aux rotations vous permet de trouver le moment du couple résistant. Le nombre de tours effectués s’obtient à partir de l’angle décrit qui est donné par l’aire sous la courbe donnant l’horaire de la vitesse angulaire. Voilà !

  • Bonsoir,

    J’ai un problème pour faire l’exercice 3, je ne connais pas la règle de Steiner et je ne la trouve pas sur internet c’est pourquoi je me remet à vous !

    Meilleures salutations

    • Bonjour,

      Demandez peut-être à un de vos camarades. Nous avons traité ce sujet mardi passé. Sinon, vous trouverez cette règle dans les tables CRM.

      À demain.