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Accélération de particules. Énergie relativiste

Énergie relativiste

Énergies cinétique, de masse et totale. Champ électrique. Accélération de particules

5 problèmes sur le champ électrique, l’accélération de particules, l’énergie cinétique, l’énergie de masse et l’énergie totale.

Article mis en ligne le 9 février 2007

dernière modification le 17 mars 2008

par bernard.vuilleumier

– Champ : Particules accélérées. Énergie relativiste.
– Documents autorisés : Aucun. Calculette.
– Vendredi 9 février 2007, CECNB, A1-A2, 95 min.
– Moyenne de classe : 3.82
– Écart type : 0.73
– Effectif : N=17

Problème 1 (6 points)

1. Donnez l’expression de l’énergie cinétique $E_{cin}$ d’une particule de masse m se déplaçant à la vitesse $\beta$ :

a) dans le cas classique ( $E_{cin cl}$ )
b) dans le cas relativiste ( $E_{cin rel}$ )

2. On admet arbitrairement que lorsque l’erreur $\frac{E_{cin rel}-E_{cin cl}}{E_{cin cl}}$ vaut 1%, la limite de la mécanique newtonienne est atteinte.

a) Que vaut la vitesse de la particule lorsqu’elle atteint cette limite ?
b) Quelle fraction de sa masse son énergie cinétique classique représente-t-elle alors ?

Problème 2 (4 points)

a) Exprimez l’énergie nécessaire pour accélérer un proton de $\beta_1$ à $\beta_2$
b) Calculez cette énergie dans les deux cas suivants : $\beta_1=0.5$ $\beta_2=0.7$ et $\beta_1=0.7$ $\beta_2=0.9.$

Problème 3 (4 points)

Une particule instable de masse m se désintègre en deux fragments qui s’éloignent respectivement aux vitesses $\beta_1$ et $\beta_2.$

a) Exprimez les masses de ces fragments en fonction de la masse m et des vitesses $\beta_1$ et $\beta_2.$
b) Calculez les masses des fragments pour $m=3.67\times 10^{-27}$ kg, $\beta_1=-0.772$ et $\beta_2=0.983$ .

Problème 4 (4 points)

a) L’énergie cinétique d’un électron dans un tube cathodique vaut 10 keV. Que vaut sa quantité de mouvement ? Que vaut sa vitesse ?
b) L’énergie cinétique d’un proton dans un accélérateur de particules vaut 600 MeV. Que vaut sa vitesse ? Que vaut sa quantité de mouvement ?

Problème 5 (6 points)

Un proton se déplace horizontalement à la vitesse v= $8 \times 10^5$ m/s. Il pénètre dans un champ électrique uniforme vertical E= $9.6 \times 10^3$ N/C.

a) Quel temps lui faut-il pour parcourir une distance horizontale de 5 cm ?
b) Quel déplacement vertical a-t-il subi après avoir parcouru cette distance ?
c) Que valent les composantes horizontale et verticale de sa vitesse lorsqu’il a parcouru cette distance ?

N. B. Vous négligerez la force de gravitation dans ce problème.

Corrigé

Problème 1

1. L’énergie cinétique d’une particule de masse m se déplaçant à la vitesse $\beta$ est donnée par :

a) $E_{cin cl}=\frac{m\beta^2}{2}$ dans le cas classique
b) $m(\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}-1)$ dans le cas relativiste

2. Pour obtenir la vitesse de la particule il faut poser $\frac{E_{cin rel}-E_{cin cl}}{E_{cin cl}}=\frac{1}{100}$ et résoudre par rapport à $\beta$ . En substituant la valeur de $\beta$ obtenue dans le rapport de l’énergie cinétique classique à l’énergie de masse $\frac{\beta^2}{2}$ , on trouve ce que représente l’énergie cinétique de la particule par rapport à son énergie de masse.

a) $\beta=0.115$ . La limite newtonienne est atteinte lorsque la vitesse de la particule vaut environ 11.5 % de la vitesse de la lumière.
b) 0.66 %. La limite newtonienne est atteinte lorsque l’énergie cinétique de la particule représente environ 0.66 % de son énergie de masse.

(* Code Mathematica pour calculer les réponses *)
Solve[(1/Sqrt[1-b^2]-1-b^2/2)/(b^2/2)==1/100, b];
%[[2,1,2]]//N
b^2/2/.b->%

Problème 2

a) $m(\frac{1}{\sqrt{1-\beta_2^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-\beta_1^2}})$ L’énergie nécessaire pour passer de $\beta_1$ à $\beta_2$ s’obtient en formant la différence des énergies totales.
b) 230 MeV, 838 MeV.

e[m_, b1_, b2_]:=m(1/Sqrt[1-b2^2]-1/Sqrt[1-b1^2])
e[938, 0.5, 0.7]
e[938, 0.7, 0.9]

Problème 3

Pour obtenir les masses et des fragments, on postule la conservation de l’énergie totale et la conservation de la quantité de mouvement (qui est nulle, la particule qui se désintègre étant initialement au repos). Cela donne deux équations :

$m=\frac{m_1}{\sqrt{1-\beta_1^2}}+\frac{m_2}{\sqrt{1-\beta_2^2}}$
$0=\frac{m_1\beta_1}{\sqrt{1-\beta_1^2}}+\frac{m_2\beta_2}{\sqrt{1-\beta_2^2}}$

a) En résolvant ces équations par rapport à et , on obtient :

$m_1=\frac{\beta_2}{\gamma_1(\beta_2-\beta_1)}m$
$m_2=\frac{\beta_1}{\gamma_2(\beta_1-\beta_2)}m$
avec $\gamma_i=\frac{1}{\sqrt{1-\beta_i^2}}$

b) $m_1=1.31\times 10^{-27}$ kg, $m_2=2.96\times 10^{-28}$ kg.

Solve[{m==m1/Sqrt[1- b1^2]+m2/Sqrt[1-b2^2], 
          0==m1/Sqrt[1-b1^2]*b1+m2/Sqrt[1-b2^2]*b2}, {m1, m2}]
%/.{m -> 3.67*10^-27, b2 -> 0.983, b1 -> -0.772}

Problème 4

Dans les deux cas, l’énergie cinétique de la particule représente largement plus de 0.66 % de son énergie de masse (cf problème 1). La limite newtonienne est donc dépassée et le problème relève de la relativité restreinte. La vitesse d’une particule s’obtient en égalant son énergie totale à $E_{cin}+m$ et en résolvant l’égalité par rapport à $\beta$ :

$\frac{m}{\sqrt{1-\beta^2}}=E_{cin}+m$

La quantité de mouvement est donnée par $p=\beta E$

a) $\beta=0.19$ et MeV pour l’électron
b) $\beta=0.79$ et MeV pour le proton

(* quantités de mouvement en MeV *)
dn = {ecine -> 0.01, me -> 0.511, ecinp -> 600, mp -> 938.};
Solve[me/Sqrt[1 - b^2] == me + ecine, b];
%[[2, 1, 2]] /. dn
%*(me + ecine) /. dn
Solve[mp/Sqrt[1 - b^2] == mp + ecinp, b];
%[[2, 1, 2]] /. {ecinp -> 600, mp -> 938.}
%*(mp + ecinp) /. dn

Problème 5

Le mouvement de la particule dans le champ électrique $\vec E$ peut se décomposer en un MRU selon l’horizontale car la particule ne subit aucune force selon Ox et un MRUA selon la verticale car la particule est soumise à une force $\vec F=q\vec E$ constante selon Oy.

a) $t=\frac{x}{v}=6.25\times 10^{-8}$ s
b) $y=\frac{1}{2}at^2=\frac{1}{2}\frac{F}{m}t^2=\frac{qEx^2}{2mv^2}=1.8$ mm
c) $v_x=v=8 \times 10^5$ m/s, $v_y=at=\frac{qEx}{mv}=57396$ m/s

dn = {v ->
     8*10^5, champE -> 9.6*10^3,
       x -> 0.05, e -> 1.6*10^-19, mp -> 1.6725*10^-27};
t[x_, v_] := x/v
t[x, v] /. dn
y[v_, champE_, x_, q_, m_] := q*champE*x^2/(2m*v^2)
y[v, champE, x, e, mp] /. dn
vy[v_, champE_, x_, q_, m_] := q*champE*x/(m*v)
vy[v, champE, x, e, mp] /. dn

Barème

Table[{i, 5/24*i + 1}, {i, 5., 24, 0.5}] // TableForm

Questions posées (hors cours)

Résultats

Corrigé

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