– Champ : dynamique du solide rigide
– Documents autorisés : Tables numériques CRM. Calculette.

Énoncé

Un dispositif formé de deux sphères reliées par une tige horizontale peut tourner librement sans frottement autour d’un axe vertical.

Question 1 (8 points)

1. Exprimez le moment d’inertie de chaque composant par rapport à l’axe.
2. Donnez l’expression du moment d’inertie total du dispositif.
3. Calculez ces moments d’inertie ainsi que le moment d’inertie total.

Question 2 (9 points)

On exerce un couple de force constant de moment sur l’axe vertical du dispositif initialement immobile.

1. Exprimez l’accélération angulaire du dispositif.
2. Calculez cette accélération angulaire. [1]
3. Exprimez la vitesse angulaire en fonction du temps.
4. Calculez cette vitesse angulaire après 1 seconde.
5. Exprimez l’angle de rotation en fonction du temps.
6. Calculez l’angle décrit par le dispositif après 1 seconde.

Question 3 (8 points)

On associe un ressort spiral qui exerce un couple de rappel de moment sur l’axe lorsqu’il a tourné d’un angle . On écarte le dispositif d’un angle de sa position d’équilibre avant de livrer le système à lui-même.

1. Exprimez l’évolution de l’écart angulaire
2. Donnez la période d’oscillation du dispositif.
3. Calculez cette période pour Nm.
4. Exprimez la vitesse angulaire maximale du dispositif.
5. Calculez cette vitesse pour une amplitude angulaire =90°.

Données numériques
– rayon des sphères cm
– masse volumique des sphères g/cm³
– longueur de la tige reliant les deux sphères cm
– masse volumique de la tige g/cm³
– masse de l’axe de rotation g
– rayon de la tige et rayon de l’axe mm
– moment du couple exercé sur l’axe Nm