La parabole et ses propriétés font partie du bagage mathématique de base. Cette fonction permet d’introduire d’une manière assez intuitive les notions de chaos déterministe et de sensibilité aux conditions initiales, notions qui ont eu un impact considérable dans de nombreux domaines scientifiques depuis l’avènement de la théorie du chaos.

Une parabole est un récit assez bref dans lequel se cache un enseignement et utilisant un procédé consistant à délivrer un message au moyen d’une comparaison. Selon H.-J. Stiker, on ne peut saisir le contenu des paraboles sans avoir étudié leur structure et elles sont davantage des cadres formels, des arrangements de possibles, que des comparaisons. Nous adoptons pleinement ce point de vue et la parabole que nous allons examiner, bien que faisant partie des connaissances mathématiques de base, nous permettra de découvrir le chaos déterministe et la sensibilité aux conditions initiales. Ces deux notions, subtiles et paradoxales, se laissent aborder d’une manière intuitive avec la parabole. Le chaos n’est-il pas purement aléatoire ? Comment une infime différence peut-elle donner lieu à des évolutions totalement différentes ?

Fig. 1 : En composant n fois la parabole y = f(x) = rx(1-x) avec elle-même, on peut obtenir des « orbites » d’aspect fort différent. La figure de gauche illustre une orbite périodique de période 3, signature du chaos. Les deux figures suivantes donnent l’évolution d’orbites issues de valeurs initiales ne différant que d’une quantité infime mais conduisant à des valeurs finales fort éloignées.

La parabole qui coupe l’axe Ox en 0 et en 1 et dont l’ordonnée du sommet est aussi comprise entre 0 et 1 selon la valeur du paramètre r, est définie par la fonction f(x) = rx(1-x).
La composition de cette fonction avec elle-même, qui peut aisément se représenter graphiquement, donne une suite de valeurs ou « orbite ». Les orbites obtenues, selon le point de départ et la valeur du paramètre r, permettent d’illustrer les phénomènes de chaos déterministe et d’imprévisibilité qui se rencontrent dans de très nombreux domaines scientifiques.

Activités proposées

Exercice 1

L’expression la plus générale pour la parabole est donnée par y = a + bx + c.
Que doivent valoir les coefficients a, b et c pour que la parabole coupe l’axe Ox en 0 et en 1 et pour que son sommet se situe en (, y), avec 0 < y ≤ 1 ?

Exercice 2

En utilisant la parabole f[x] = rx(1-x), calculez la valeur de cette fonction pour :
a) x=1/5 lorsque r vaut 4
b) x=16/25
c) x=576/625
d) Calculez le résultat trouvé sous c) en partant de x=1/5 et en composant 3 fois la fonction avec elle-même.

Exercice 3

Lorsqu’une fonction est composée n fois avec elle-même on dit qu’elle est itérée n fois. On utilise la notation suivante [x] pour signifier n compositions de f avec elle-même à partir de la valeur initiale x. Quelle est l’instruction qui permet d’obtenir :
a) [x] ?
b) la succession des valeur de x, f[x], f[f[x]] ,…, [x] ?

Exercice 4

a) Donnez une interprétation géométrique de l’itération de la fonction f[x] = rx(1-x) et dessinez le résultat de l’itération de cette fonction en partant de différentes valeurs initiales et pour différentes valeurs du paramètre r.
b) A quels types de comportements l’itération de cette fonction peut-elle donner lieu ?

Exercice 5

a) Reportez, en fonction de t, les n +1 valeurs [x] lorsque t varie de 0 à n.
b) Illustrez la sensibilité aux conditions initiales en comparant deux évolutions issues de valeurs initiales très voisines.

Pour en savoir plus
• Devaney, Robert L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, 2nd edition Addison-Wesley, 1989.
• Stiker, Henri-Jacques. Article « Parabole », Encyclopædia Universalis 2004.

Corrigé des exercices

Voir (from Wolfram Demonstrations Project) Trajectories of the Logistic Map

Wolfram Demonstrations Project : mode d’emploi

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