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Trouver la période

mardi 7 avril 1998

Dès Euclide, les rapports furent utilisés pour comparer des grandeurs. Lorsqu’il s’agit de mesurer une longueur, par exemple, l’idée première est de la comparer à une autre longueur qui sert de référence et à laquelle on donne volontiers le nom d’« unité ». Cette unité choisie, on la reporte plusieurs fois de façon à recouvrir la longueur à mesurer. Si l’on tombe juste, le nombre entier de reports effectués constitue une mesure de la longueur. Sinon, ou l’on se contente de dire que cette longueur se situe entre le nombre entier de reports et son successeur, ou, pour être plus précis, l’on change d’unité de référence et l’on prend une partie exacte de l’unité initiale avant de recommencer l’opération sur la partie non encore recouverte. Lorsque nous divisons le numérateur d’une fraction par son dénominateur, nous procédons exactement de la même manière : nous regardons combien de fois le dénominateur (qui joue le rôle d’unité de mesure) se trouve dans le numérateur, puis, tant que la division ne se termine pas, nous changeons d’unité de mesure. Si ça ne tombe jamais juste, comme les restes sont tous inférieurs au dénominateur, alors il faudra bien qu’ils réapparaissent après un certain nombre d’opérations. Et à même reste, même chiffre au quotient. Nous obtiendrons donc un développement décimal périodique.

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