Champ magnétique d'un solénoïde : réponses aux questions

Laboratoire de physique

Champ magnétique d’un solénoïde : réponses aux questions

Production d’un champ magnétique uniforme

Réponses aux questions sur le champ magnétique d’un solénoïde.

Article mis en ligne le 23 avril 2009

dernière modification le 5 décembre 2014

par bernard.vuilleumier

Consultations préalables
– J.-A. Monard, Électricité, Chap. 15. Chap. 17, $\S$ 122. Chap. 20, $\S$ 145.
– Protocole de l’expérience
– Induction magnétique dans un solénoïde
– Perméabilité du vide

Réponses au questions

Question 1 (2 points)
Qu’est-ce qu’un solénoïde et quelle est l’utilité d’un solénoïde ?

Un solénoïde est constitué d’un long fil enroulé sur un cylindre de longueur l et de rayon r tel que la longueur soit bien plus grande que le rayon (l>>r). On désigne par N le nombre de tours effectués par le fil. Un solénoïde permet de créer, en son intérieur, un champ magnétique uniforme.

Question 2 (2 points)
Comment modélise-t-on un solénoïde pour calculer le champ magnétique qu’il produit ?

On considère le solénoïde comme l’assemblage de N spires et on calcule le champ en son centre en sommant les contributions de chaque spire en ce point.

Question 3 (2 points)
Quelle est la loi physique qui permet d’obtenir la valeur du champ magnétique à l’intérieur du solénoïde en un point de son axe ?

C’est la loi de Biot et Savart :

$d\vec B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{d\vec s \times \vec r}{r^3}$

L’élément infinitésimal de longueur $d\vec s$ parcouru par le courant I, crée le champ magnétique élémentaire $d\vec B$ au point P :

[Graphics:HTMLFiles/169_9.gif]

Question 4 (4 points)
Quelle est l’expression du champ magnétique B créé par une spire de courant de rayon R à une distance x de son centre, distance mesurée sur l’axe passant par ce centre et perpendiculaire au plan de la spire ?

Pour un conducteur en forme de boucle, l’angle entre $d\vec s$ et $\vec r$ est un angle droit. La grandeur de $d\vec B$ vaut donc :

$\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{ds}{r^2}$

Seule la composante selon Ox contribue au champ $\vec B$ (par symétrie, les composantes selon Oy et Oz s’annulent). Exprimons la composante de $d\vec B$ selon Ox :

$dB_x=dB sin\alpha=dB\frac{R}{r}=\frac{\mu_0 I R}{4\pi}\frac{ds}{r^3}$

En additionnant tous les éléments ds du conducteur (intégrale de ds sur la spire) on obtient la circonférence $2\pi R$ de la spire. La grandeur du champ résultant $\vec B$ vaut donc :

$B=\frac{\mu_0 I}{2}\frac{R^2}{r^3}$

En exprimant r à l’aide de et de x, on obtient :

$r=\sqrt{R^2+x^2}$

$B=\frac{\mu_0 I}{2}\frac{R^2_}{(R^2+x^2)^\frac{3}{2}}$

Question 5 (5 points)
Comment passe-t-on de cette expression à celle donnant la grandeur du champ magnétique $\vec B$ au centre d’un solénoïde de N spires et de longueur l ?

En multipliant l’expression ci-dessus par le nombre de spires par mètre $\frac{N}{l}$ et en l’intégrant avec Mathematica de $x=-\frac{l}{2}$ à $x=\frac{l}{2}$ :

mu0*n*i/(2 l)*Integrate[R^2/(R^2 + x^2)^(3/2), {x, -l/2, l/2}, Assumptions -> {R > 0, l > 0}]

$B=\frac{\mu _0\text{\textit{NI}}}{2l}\int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{R^2}{\left(R^2+x^2\right)^{\frac{3}{2}}} \, dx = \frac{\mu _0\text{\textit{NI}}}{\sqrt{l^2+4 R^2}}$

Autres questions sur l’électromagnétisme
– Bobines de Helmholtz
– Charge et décharge d’un condensateur
– e/m Rapport charge sur masse de l’électron
– Force de Laplace
– Résistivité

Sujets liés (from Wolfram Demonstrations Project)
– Energy Density of a Magnetic Dipole
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