Comment obtenir une représentation graphique de l’attracteur à partir d’un système de fonctions itérées qui applique au hasard des transformations affines à un point quelconque
Présentation théorique de l’attracteur
Conclusion
Présentation théorique de l’attracteur
Un attracteur est le résultat d’un système de fonctions itérées qui est évalué plusieurs fois, idéalement une infinité de fois. L’attracteur représente en quelque sorte la limite de ce système après un très grand nombre d’itérations, c’est-à-dire qu’après un certain nombre d’itérations, disons 1 million, nous ne verrons presque, ou même, aucune différence entre la millionième itération et la milliardième itération du système ; c’est le théorème de Hutchinson. Ce théorème stipule que si chaque fonction est contractante (c’est-à-dire que deux point 
et 
se rapprochent invariablement vers un point fixe), alors on obtient un attracteur, et cet attracteur est unique. Cela implique que chaque système de fonctions itérées qui est composé de fonctions contractantes ne peut avoir qu’un attracteur unique. Dans notre cas pour illustrer ce qu’est un attracteur nous allons prendre trois points quelconques et leur appliquer des transformations affines qui sont les fonctions qui constitueront le système de fonctions itérées. Pour rendre plus claire cette définition, nous pouvons faire une analogie qui explique la manière dont l’attracteur est obtenu à partir d’un système de fonctions itérées.
Prenons un photocopieur qui possède plusieurs systèmes optiques, disons 3. Ces systèmes optiques représentent trois transformations affines différentes. Puis on met une image ou figure initiale et on la photocopie. Après nous nous retrouvons avec 3 photocopies toutes transformées et réduites. L’obtention de ces 3 copies à partir d’une image est la première itération de notre système. Pour faire la deuxième itération, nous reprenons nos 3 photocopies qui ont été faites à l’issue de la première itération et nous les photocopions. Nous nous retrouvons avec 9 photocopies qui sont le résultat de la deuxième itération et le processus se répète. Lorsqu’un grand nombre d’itérations sont effectuées, nous remarquons que les images obtenues ne changent pas, c’est l’attracteur du système, soit l’attracteur du photocopieur.
Comment établir une transformation affine ↑
Pour établir chaque fonction nous devons prendre six points quelconques, 3 points correspondant à l’image initiale et 3 points correspondant à l’image transformée désirée. Prenons une figure simple, comme un triangle :
Le triangle de gauche est le triangle initial et le triangle de droite est l’image transformée. Maintenant pour établir nos transformations nous devons utiliser l’équation générale des transformations affines qui est, sous forme matricielle :
et sous forme linéaire :
Dans ces équations 
représente la coordonnée du point transformé (un des points du triangle vert) et 
représente la coordonnée du point transformé. Donc pour trouver les coefficients 
nous devons résoudre un système d’équations avec six inconnues et par conséquent six équations qui est le suivant :
« »
Puis nous résolvons ce système, soit à la main, soit avec Mathematica ce qui est beaucoup plus simple. Pour résoudre le système avec Mathematica, il suffit de copier le code ;
et ensuite de l’évaluer. Ensuite pour trouver nos transformations on substitue les $x, y, u$ et $z$ par les coordonnées de nos points.
Si nous reprenons la figure avec les deux triangles, nous pouvons trouver les coefficients qui nous permettent de transformer le triangle rouge en le triangle vert. Le code à utiliser dans Mathematica est le suivant :
et on obtient comme coefficients :
Maintenant nous devons les réécrire ces coefficients d’une manière différente pour qu’ils puissent être évalués avec le module IteratedMappings et cela rend plus simple aussi la méthode qui consiste à attribuer une transformation sur un point quelconque avec des probabilités différentes ;
Finalement appliquons cette transformation au triangle rouge pour obtenir un triangle violet identique au triangle vert :
et le code :
Comment établir et évaluer un système de fonctions itérées ↑
Il y plusieurs méthodes pour évaluer un système de fonctions itérées dans Mathematica mais il faut avoir au moins 3 transformations affines différentes si l’on veut obtenir un attracteur. Nous pouvons utiliser la module IteratedMappings (qui doit être téléchargée) ou nous pouvons utiliser une autre méthode qui consiste à appliquer une transformation au hasard avec des probabilités différentes. Cette méthode est la plus performante parce qu’elle nous permet d’approcher l’attracteur sans avoir une quantité trop importante de données contrairement à l’utilisation de la module IteratedMappings. Toutefois, avec la deuxième méthode, on a parfois besoin de faire un grand nombre d’itérations si l’on veut se rapprocher de l’attracteur. C’est celle qui je détaillerai, mais vous pouvez trouver en annexe un fichier Mathematica qui utilise le module IteratedMappings pour obtenir l’attracteur.
D’abord il faut que nous choisissions quelles transformations vont composer le système de fonctions itérées. Pour cet exemple j’ai choisi des transformations affines qui donnent un flocon de neige qui sont les suivantes :
D’abord j’utiliserai la méthode qui ne nécessite pas la module IteratedMappings. Donc ayant déjà défini nos transformations, il faut définir les fonctions des transformations affines à appliquer sur un point quelconque :
Ensuite, nous devons établir notre système de fonctions itérées. Pour cela nous utilisons la commande NestList. Si on prend comme fonction 
en itérant avec NestList 4 fois,
on obtient
Nous voyons que la commande NestList applique la fonction à elle-même 4 fois. Le résultat de la quatrième itération est la fonction 
qui est appliquée à elle-même quatre fois et ces quatre itérations de sont appliquées à 
. En d’autres mots, pour reprendre l’analogie du photocopieur, NestList a commencé avec puis lui a appliqué une transformation. Ensuite NestList a photocopié la première itération et puis la deuxième et enfin la troisième pour obtenir la quatrième itération.
Maintenant définissons notre système de fonctions itérées :
La fonction sta sert à simplifier le code en établissant une fonction qui tire au hasard une des transformations à chaque itération pour l’appliquer sur un point quelconque. Maintenant pour montrer qu’il faut plusieurs itérations pour obtenir l’attracteur nous allons comparer deux images, la première obtenue après 10’000 itérations et la deuxième obtenue après 1’000’000 d’itérations et la dernière après 3’000’000 d’itérations :
On peut remarquer que plus on effectue d’itérations, plus il y a de points dans le flocon. Par contre après un certain nombre d’itérations la densité de points sur l’image sera tellement élevée que nous ne verrons aucune différence même si nous itérions de nouveau la fonction. La raison pour cela est que l’écran d’un ordinateur ne peut pas afficher plus de points qu’il a de pixels, mais toutefois ces points supplémentaires seront calculés par Mathematica (et qui occuperont une grande quantité de mémoire vive de l’ordinateur !).
Dans cet article j’ai détaillé une façon d’obtenir un attracteur, ici une image à partir de quatre transformations. Mais, l’attracteur ne sert pas uniquement à faire de petites images comme des flocons de neige. Il sert également à décrire des comportements qui nous semblent chaotiques mais qui suivent un itinéraire précis. Nous pouvons prendre par exemple l’attracteur de Lorenz qui représente le comportement de la convection de l’atmosphère. C’est aussi Lorenz qui a montré que le chaos dépend fortement des conditions initiales. En 1961, Lorenz simulait une prévision météorologique et pour une des données il a omis quelques décimales. Il constate après avoir effectué la simulation qu’il a obtenu des conditions météorologiques totalement différentes. Cette découverte donne naissance à "l’effet papillon", qui illustre l’effet possible des battements d’ailes d’un papillon sur l’évolution de la météo.
[1]
Les attracteurs sont aussi utilisés par la théorie du chaos pour décrire des comportements dans des multitudes de domaines comme la météorologie, la robotique, la physique, la démographie etc. C’est grâce aux attracteurs qu’on peut observer le chaos parce que l’attracteur nous permet de visualiser des comportement non-linéaires qui ont, en fait un comportement invariable après une certaine quantité de temps.
- http://en.wikipedia.org/wiki/Attractor
- http://en.wikipedia.org/wiki/Iterated_function_system
- http://en.wikipedia.org/wiki/Contraction_mapping
- http://en.wikipedia.org/wiki/Hutchinson_operator
- http://en.wikipedia.org/wiki/Barnsley%27s_fern
- OWL Math & Sciences
- Le cours d’applications des maths donné par M. Vuilleumier
- http://en.wikipedia.org/wiki/Lorenz_attractor
- http://en.wikipedia.org/wiki/Butterfly_effect
– Fichier Mathematica avec les figures de l’article
– Le module IteratedMappings [2]
– Encore plus de transformations affines pour faire d’autres figures