Exercices : quantité de mouvement, gravitation et énergie

Mécanique

Cinq exercices avec corrigés et réponses

Cinq exercices sur la quantité de mouvement, la gravitation et l’énergie avec réponses et instructions Mathematica permettant de calculer les réponses.

Article mis en ligne le 9 mai 2006

dernière modification le 18 juin 2013

par bernard.vuilleumier

N. B. Vous pouvez copier les instructions se trouvant dans les cadres, les coller dans un notebook et les exécuter si vous disposez de Mathematica.

Inelastic Collisions of Two Spheres from the Wolfram Demonstrations Project by Andrés Santos

Exercice 1
Une bille de plastiline de masse m possède une vitesse u. Une seconde bille de masse 3 m heurte la première et se colle à elle. Le système final a une vitesse dont la grandeur vaut deux fois celle de la première bille, mais de direction perpendiculaire. Exprimez la vitesse initiale de la seconde bille (composantes, grandeur et direction) et calculez ces différentes grandeurs.

Écrivons l’équation de la conservation de la quantité de mouvement en composantes selon Ox et Oy et résolvons cette équation par rapport à v_x et v_y. Calculons la grandeur de la vitesse finale et l’angle qu’elle forme avec Ox.

sol =.
sol = Solve[{m*u + 3m*vx == 0, 3m*vy == (3m + m)*2u}, {vx, vy}]
% // N
Sqrt[vx^2 + vy^2] /. sol
% // N
ArcTan[vy/vx]/Degree /. sol // N

– Rép. $v_x=-\frac{u}{3}, v_y=\frac{8u}{3}, v=\frac{1}{3}\sqrt{65} u, \theta=-82.875$ °.

Exercice 2
Sur un rail, un wagonnet de 1 kg roulant à une vitesse de 6 m/s entre en collision avec un wagonnet de 2 kg, roulant en sens inverse à une vitesse de 2 m/s. Le premier wagonnet est repoussé en arrière à une vitesse de 1 m/s. Quelle est la vitesse finale de l’autre wagonnet ?

Écrivons l’équation de la conservation de la quantité de mouvement, résolvons cette équation par rapport à w₂ et introduisons les valeurs numériques dans la solution.

sol =.
sol = Solve[m1*v1 + m2*v2 == m1*w1 + m2*w2, w2]
sol /. {m1 -> 1, v1 -> 6, m2 -> 2, v2 -> -2, w1 -> -1}

– Rép. $w_2=\frac{m_1v_1+m_2v_2-m_1w_1}{m_2}, w_2=\frac{3}{2}$ .

Exercice 3
A quelle altitude h faut-il placer un satellite pour qu’il décrive une orbite circulaire autour de la Terre :

en 24 h ?
en 12 h ?

Données numériques : G=6.67×10^-11 Nm²/kg², M=6×10²⁴ kg, R=6400 km.

Égalons la force de gravitation à la force centripète, substituons dans la force centripète la vitesse par la distance parcourue (circonférence) divisée par la période, résolvons cette équation par rapport à l’altitude h et substituons les valeurs numériques dans cette solution.

sol =.
sol = Solve[G*m/(R + h)^2 == v^2/(R + h) /. v -> 2Pi(R + h)/T, h];
sol[[1]]
sol[[1]] /. {R -> 6.4*10^6, m -> 6*10^24, G -> 6.67*10^-11, T -> 24*3600}
sol[[1]] /. {R -> 6.4*10^6, m -> 6*10^24, G -> 6.67*10^-11, T -> 12*3600}

– Rép. $h=\sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}}}-R$ , 3.59×10⁷ m, 2.02 ×10⁷ m.

Exercice 4
A quelle distance x de la Terre un objet soumis à l’attraction de la Terre et de Mars subirait-il une force résultante nulle ?

Données numériques : m_Terre=6×10²⁴ kg, m_Mars=0.107m_Terre, d_Terre-Mars=7.8×10⁷ km.

Appelons la distance Terre-objet x, égalons la force exercée par la Terre à celle exercée par Mars sur l’objet lorsqu’il se trouve à cette distance x, simplifions et résolvons l’équation par rapport à x. Substituons les valeurs numériques dans la solution.

sol=.
sol = Solve[mT/x^2 == mM/(dTM - x)^2, x];
sol[[2]]
sol[[2]] /. {mT -> 6*10^24, mM -> 0.107*6*10^24, dTM -> 7.8*10^10}

– Rép. $x=\frac{d_{TM}\sqrt{m_T}}{\sqrt{m_M}+\sqrt{m_T}}$ , 5.88×10¹⁰ m.

Exercice 5
Vous lancez un objet à la vitesse v₀ depuis une fenêtre située à une hauteur h. Exprimez et calculez en négligeant le frottement la vitesse v de l’objet lorsqu’il arrive au sol dans les 3 cas suivants :

vous lancez l’objet horizontalement
vous lancez l’objet sous un angle de 45° vers le haut
vous lancez l’objet verticalement vers le bas.

Données numériques : h=25 m, v₀=20 m/s, accélération terrestre au voisinage de la Terre g= 9.8 m/s².

Si on néglige le frottement, le mobile ne subit qu’une seule force qui est conservative, son poids. Utilisons le théorème de l’énergie mécanique pour exprimer sa vitesse lorsqu’il arrive au sol puis substituons les valeurs numériques dans la solution.

sol =.
sol = Solve[m*g*h + m*v0^2/2 == m*v^2/2, v];
sol[[2]]
sol[[2]] /. {g -> 9.8, h -> 25, v0 -> 20}

– Rép. $v=\sqrt{2gh+v_0^2}$ , 29.83 m/s. N. B. v ne dépend pas de l’angle de tir.

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