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301PYos. Épreuve semestrielle

Énergie et oscillations : questions réponses

Préparation à la semestrielle

dimanche 14 janvier 2007, par Bernard Vuilleumier

Si vous avez d’autres questions au sujet de la semestrielle, posez-les à la suite de cet article afin qu’elles soient regroupées et que chacun puisse les consulter et profiter des réponses.

Réponses à quelques questions qui m’ont été posées par courrier.

Énergie
 Exercice 12

Q. Dans l’exercice 12 vous ne donnez pas la constante du ressort mais une force F et je ne saisis pas très bien l’énoncé

R. Le ressort est contracté par deux forces opposées de grandeur F et il se raccourcit de x. Imaginez par exemple que vous appuyez sur un ressort vertical posé sur le sol avec une force F. Le sol exerce à son tour une force F sur le ressort et voilà la situation décrite dans l’énoncé réalisée.

Q. La formule de résolution nécessite le k du ressort, comment l’obtenir à partir de F ?

R. Connaissant la force exercée sur une extrémité du ressort et la longueur x dont il se raccourcit, vous pouvez trouver sa raideur k (F=-kx). Vous utilisez ensuite la conservation de l’énergie mécanique pour trouver la vitesse d’expulsion de la bille (Eélastique=Ecinétique). Attention aux unités !

Oscillations harmoniques
 Exercice 1

Q. Combien faut-il de temps pour que la vitesse du wagonnet passe de la valeur v à la valeur u ?

R. La vitesse du wagonnet est donnée, en fonction du temps par v(t)=\omega A cos(\omega t). On souhaite que cette vitesse prenne la valeur u, ce qui donne l’équation u=\omega A cos(\omega t), équation qu’il faut résoudre par rapport à t pour obtenir la réponse.

Q. Pouvez-vous m’expliquer quel est le lien entre le MCU et l’oscillateur harmonique (pas clair) s’il-vous-plaît ?

R. Le lien entre un MCU et l’oscillateur harmonique est illustré par l’animation suivante. En d’autres termes, la projection d’un mouvement circulaire uniforme sur l’axe y donne un mouvement harmonique.

 Exercice 2

Q. k n’est pas donné mais une force F. Comment obtenir k ?

R. Vous connaissez la force exercée sur une extrémité du ressort et la contraction. Vous pouvez donc trouver k. La fréquence f est l’inverse de la période T qui est liée à la raideur (et à la masse).

Q. Lorsqu’on ajoute un 2ème ressort la fréquence change, comment poser l’équation, les k s’ajouteraient-ils ?

R. En plaçant un ressort identique de l’autre côté du wagonnet, on double la raideur (pour déplacer le wagonnet d’une quantité x, il faut étendre un ressort et contracter l’autre).

 Exercice 5

Q. L’amplitude n’apparait pas dans l’équation de l’énergie, mais dans l’horaire, faut-il mixer les 2 équations ?

R. Lorsque l’amplitude est maximale, la vitesse de l’oscillateur est nulle. L’énergie se trouve donc sous forme d’énergie élastique E. Il faut ensuite trouver la valeur de x pour que l’énergie élastique soit réduite à 0.4 E.

 Exercice 6

Q. Aucune donnée ? Je poserais l’équation de l’énergie mécanique du ressort mais comment résoudre sans donnée et ensuite obtenir le temps ?

R. Il faut partir de l’équation qui postule l’égalité de l’énergie cinétique et de l’énergie élastique et isoler x par exemple. En substituant ensuite x et v par les expressions qui donnent respectivement la position et la vitesse en fonction du temps, puis en simplifiant, on trouve sin(\omega t)=cos(\omega t), ce qui permet de trouver t, puis, en introduisant la valeur trouvée pour t dans l’horaire x(t)=Asin(\omega t), on trouve x.

 Exercice 8

Q. Est-ce juste de poser l’équation de la vitesse v(t) = A cos(\frac{2\pi}{T} t+\phi) en posant T = 0.4 s, \phi = 0 et v = 3 m/s ?

R. Attention, l’horaire que vous donnez pour la vitesse est incomplet. En dérivant l’horaire de la position x(t)=Asin(\omega t+\phi) on obtient \omega A cos(\omega t+\phi). La période T vaut 0.4 (s). La vitesse maximale vaut v_{max} =\omega A. Il faut exprimer \omega en fonction de T puis isoler A.

Rien de bien compliqué donc, comme vous pouvez le constater.

Messages

  • Bonjour M. Vuilleumier,
    Merci pour ces détails sur ces séries d’exercices. Cependant, j’ai encore quelques soucis avec certains d’entre eux.

    Premièrement, à l’exercice 6, pourriez-vous m’éclairer davantage sur la résolution de l’équation sin(wt) = cos(wt) ?

    Ensuite, dans l’exercice 8, je n’arrive pas à comprendre d’où vient l’omega dans l’équation Vmax = omega . Amplitude, sachant que l’on a seulement Vmax et le paramètre "t".

    Merci d’avance pour ces réponses.
    Passez une bonne journée !

    • Bonjour Aymeric,

      Exercice 6

      Si vous n’avez pas encore rencontré ce type d’équation, vous pouvez essayer de la résoudre avec votre calculatrice (si celle-ci le permet). Sinon, vous pouvez vous en sortir de la manière suivante. Vous utilisez la relation cos^2(x)+sin^2(x)=1 pour reformuler votre équation : sin(\omega t)=\sqrt{1-sin^2(\omega t)}. Vous posez alors sin(\omega t)=x et vous obtenez, en résolvant par rapport à x, x=\frac{1}{\sqrt 2}, ce qui permet d’obtenir \omega t=arcsinus\frac{1}{\sqrt 2}, donc t=\frac{\pi}{4\omega}=\frac{T}{8} en utilisant la définition de \omega=\frac{2\pi}{T}. Une autre approche plus « piétonne » consisterait à dessiner les fonctions sinus et cosinus, à chercher la première valeur de l’abscisse pour laquelle elles se coupent et à exprimer cette valeur comme une fraction de la période T.

      N. B. Les valeurs numériques indiquées dans les réponses de la série sont obtenues pour une masse m de 120 g et une raideur k de 20 N/m.

      Exercice 8

      En dérivant l’horaire x(t)=Asin(\omega t) par rapport à t, on obtient v(t)=\omega A cos(\omega t). La vitesse est maximale lorsque cos(\omega t) vaut 1, d’où v_{max}=\omega A.

  • Toujours pour l’exercice 6 :

    Une fois trouvé t (je suis d’ailleurs comme Aymeric, dans le flou pour la résolution de ce t ), il nous manque A et w pour trouver x en posant l’équation horaire du mouvement harmonique, me trompe-je ?

    • Exercice 6

      Bonjour Yannick,

      Non, vous ne vous trompez pas complètement. Je n’ai en effet donné ni l’amplitude d’oscillation A, ni la valeur de la masse m, ni la raideur k du ressort. Vous ne pouviez donc pas obtenir de valeurs numériques pour la position et le temps demandés. Mais vous pouvez exprimer la position x de la masse en fonction de cette amplitude d’oscillation A. Il n’est en revanche pas nécessaire de connaître \omega. Une fois le temps t trouvé (voir ci-dessus la réponse à Aymeric), vous l’introduisez dans l’horaire x(t)=A sin(\omega t), vous utilisez la relation \omega=\frac{2\pi}{T}, et vous obtenez x=Asin(\frac{\pi}{4})=\frac{A}{\sqrt 2}.

    • Merci beaucoup, j’avais fini par trouver le temps \frac{T}{8} en me souvenant que les fonctions sinus et cosinus étaient égales en \frac{\pi}{4}

      Ce qui me perturbait le plus était que dans cette série, vous donniez comme réponse des valeurs numériques précises

      Rép. À ± 3.5 cm de la position d’équilibre, t=± 0.06 s.

      Et merci aussi pour les autres exercices.

  • Pourquoi y’a-t-il besoin de travailler en radians plutôt qu’en degrés avec les oscillations harmoniques ?

    Merci

    • Il n’y a aucune obligation de travailler en radian lorsqu’on étudie les osillations, mais c’est plus pratique. Lorsque vous écrivez par exemple, pour une vitesse angulaire ou une pulsation \omega=\frac{2\pi}{T}, vous travaillez en radian car l’angle parcouru est exprimé en radian mais personne ne vous interdit d’écrire \omega=\frac{360}{T}. Remarquez toutefois que les formules données dans les tables utilisent le radian comme unité d’angle :

      T=2\pi \sqrt \frac{m}{k}
      \omega=\sqrt \frac{k}{m}
      \omega T=2\pi
  • Vous n’expliquez pas exactement comment poser k.

    Est-ce bien,

    K[N/m] = F[N]/déplacement[m] = 1/0.05 [N/m] ?

    Mais dans ce cas comment expliquer que le résultat de f ne corresponde pas au corrigé ?

    f = 1/T = 1/(2PI*(m/k)^1/2)= 1/(2PI*(0.12/20)^1/2)

    f = 2.05468148 et non 2.91

    Cela provient-il d’une transformation en Hz ?

    Merci

  • M. Vuilleumier,

    N’ayant pas droit à la table, on risque fortment d’avoir des blancs durant l’épreuve.

    Sera-t-il possible que vous nous donniez un rappel (au tableau par exemple) des formules, pendant l’épreuve ?

    Merci Beaucoup

    • À qui ai-je l’honneur ? J’aime bien que les personnes qui posent des questions, et a fortiori celles qui sollicitent des faveurs, déclinent leur identité, à tout le moins qu’elles donnent leur prénom. Merci d’y penser à l’avenir.

      Je passerai répondre aux éventuelles questions de compréhension d’énoncé demain matin. J’en profiterai pour écrire au tableau quelques expressions que vous devriez connaître mais qui vous auront peut-être échappé en raison du stress !

    • il y a une faute sur le mot ’fortEment’.

  • Bonjour,

    en relisant l’exercice qu’on a fait vendredi pour le funiculaire, je vois que la formule finale qu’on a écrite ne prend pas en compte la force de frottement (ex 6).
    Quel serait la formule si on intégrait cette force ?

    • Énergie

      Exercice 6

      Pour obtenir la vitesse lorsqu’on tient compte de la force de frottement, il faut procéder ainsi :

       Utiliser le théorème de l’énergie cinétique qui affirme que la somme algébrique des travaux des forces qui agissent sur le mobile est égale à sa variation d’énergie cinétique.
       Inclure dans les travaux celui de la force de frottement.
       Résoudre l’équation par rapport à la vitesse cherchée.

      Vous devriez obtenir l’expression suivante ou quelque chose d’équivalent :

      v=\sqrt{\frac{v_0^2 l-2dg(h_1-h_2+\mu l)}{l}}

      \mu est le coefficient de proportionnalité entre la force de frottement F_{frott} et le poids mg (F_{frott}=\mu mg).

    • Je ne comprend pas pourquoi il y a un signe - a la place de +, comme dans le cours. (entre v0 et 2dg)

    • Les équations à résoudre, issues toutes deux du théorème de l’énergie cinétique, sont celles-ci :

       Sans frottement

       Avec frottement :

      Vérifiez que vous avez bien les mêmes équations de départ dans vos notes.

    • Merci, j’ai compris ! Je n’avais pas noté la distribution entre d et Ffrott.

    • Bonjour, pour l’exercice sur le funiculaire, je suis bloqué et ne comprend pas comment trouvé les resultats. Merci

    • Bonsoir,

      Vous pouvez utiliser le théorème de l’énergie cinétique.
      a) S’il n’y a pas de frottement, le travail du poids est égal à la variation d’énergie cinétique
      b) S’il y a du frottement, c’est le travail de la résultante des forces qui est égal à la variation d’énergie cinétique.

  • Bonsoir,

    après avoir lu et relu l’explication que vous avez donné pour l’exercice 6, je n’arrive toujours pas à le comprendre !!!

    Est-ce que vous pourriez le reexpliquer avec plus de détails ???

    Merci