Exercices sur les effets et l'énergie relativistes - [S'informer et apprendre en ligne]

Relativité restreinte

Exercices sur les effets et l’énergie relativistes

Contraction des longueurs et dilatation du temps

Six exercices sur la relativité restreinte.

Article mis en ligne le 4 décembre 2007

dernière modification le 6 décembre 2014

par bernard.vuilleumier

Exercice 1

– a) Si est la longueur d’une règle 1 m dans $\Sigma$ :

’ est inférieure à 1 m dans $\Sigma$ ’ Vrai ou faux ?
’ est égale à 1 m dans $\Sigma$ ’ Vrai ou faux ?
’ est supérieure à 1 m dans $\Sigma$ ’ Vrai ou faux ?

**Indication** : Les extrémités des flèches se trouvent sur les hyperboles d’équations t²-x²=1 et x²-t²=1.

– b) Si est une durée de 1 seconde dans $\Sigma$ :

’ est inférieure à 1 s dans $\Sigma$ ’ Vrai ou faux ?
’ est égale à 1 s dans $\Sigma$ ’ Vrai ou faux ?
’ est supérieure à 1 s dans $\Sigma$ ’ Vrai ou faux ?

– c) Illustrez par une construction géométrique le fait qu’un observateur de $\Sigma$ mesurant la longueur d’une règle en translation à la vitesse $\beta$ arrive à la même conclusion qu’un observateur de $\Sigma$ ’ en translation à la vitesse $\beta$ mesurant la longueur d’une règle au repos.
– d) Illustrez par une construction géométrique le fait qu’un observateur de $\Sigma$ mesurant la durée séparant deux événements qui se produisent au même endroit dans $\Sigma$ ’ en translation à la vitesse $\beta$ arrive à la même conclusion qu’un observateur de $\Sigma$ ’ mesurant la durée séparant deux événements qui se produisent au même endroit dans $\Sigma$ .

Exercice 2
Sous l’effet du rayonnement cosmique, une particule prend naissance dans les hautes couches de l’atmosphère et se déplace en direction de la Terre à une vitesse v=0.8 c avant de se désintégrer. Sa durée de vie propre vaut τ=2,6 × 10^-8 s.
– a) Construisez la ligne d’univers de cette particule sur un diagramme d’espace-temps attaché à la Terre et calculez sa durée de vie observée depuis la Terre.
– b) Calculez la distance que cette particule franchit dans l’atmosphère entre l’instant de sa création et celui de sa désintégration.

Exercice 3
Un proton se déplace à la vitesse β. Exprimez, puis calculez pourβ=0.987 :
– a) son énergie de masse
– b) son énergie cinétique
– c) son énergie totale.

Exercice 4
Des particules de charge q et de masse m sont accélérées par une tension U.
– a) Exprimez la vitesse de ces particules en fonction de la tension d’accélération et du rapport q/m dans le cadre de la physique classique et dans le cadre de la physique relativiste.
– b) Calculez ces vitesses pour des électrons lorsque U=10000 V ainsi que l’écart relatif entre prédiction classique et relativiste.

Indication : écart relatif en % = 100 × $\frac{v_{classique}-v_{relativiste}}{v_{classique}}$

Exercice 5
Une particule instable de masse m se désintègre en deux fragments qui s’éloignent respectivement aux vitesses $\beta_1$ et $\beta_2$ . Exprimez les masses de ces fragments en fonction de m, $\beta_1$ et $\beta_2$ , puis calculez ces masses pour m=3.67×10^-27 kg, $\beta_1$ =-0.772 et $\beta_2$ =0.983.

Exercice 6

**Indication** : Les flèches sont des vecteurs unités.

A partir des diagrammes d’espace-temps (x, t) et (x’, t’) ci-dessus, donnez :
– a) la vitesse de translation $\beta_r$ des deux systèmes et indiquez son sens dans $\Sigma$ et dans $\Sigma$ ’.
– b) la vitesse dans $\Sigma$ d’une particule animée d’une vitesse $\beta$ ’=0.8 selon Ox’ dans $\Sigma$ ’.
– c) les coordonnées des événements B et D dans chacun des systèmes.
– d) les intervalles AD et AE dans les deux systèmes.
– e) Quels sont les événements simultanés dans $\Sigma$ ? Et dans $\Sigma$ ’ ?
– f) Quels sont les événements qui se produisent au même endroit dans $\Sigma$ ? Et dans $\Sigma$ ’ ?
– g) A quelle vitesse $\Sigma$ ’ devrait-il se déplacer selon Ox pour que les événements A et B soient simultanés dans $\Sigma$ ’ ?
– h) A quelle vitesse $\Sigma$ ’ devrait-il se déplacer selon Ox pour que les événements A et E se produisent au même endroit dans $\Sigma$ ’ ?

Vrai ou faux ?

– A peut causer C
– A peut causer D
– A peut causer E
– B peut causer C
– B peut causer F
– B peut causer A

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