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Laboratoire de physique

Champ magnétique d’un solénoïde : réponses aux questions

Production d’un champ magnétique uniforme

jeudi 23 avril 2009, par Bernard Vuilleumier

Consultations préalables
– J.-A. Monard, Électricité, Chap. 15. Chap. 17, \S 122. Chap. 20, $\S$ 145.
– Protocole de l’expérience
– Induction magnétique dans un solénoïde
– Perméabilité du vide

Réponses au questions

Question 1 (2 points)
Qu’est-ce qu’un solénoïde et quelle est l’utilité d’un solénoïde ?

  • Un solénoïde est constitué d’un long fil enroulé sur un cylindre de longueur l et de rayon r tel que la longueur soit bien plus grande que le rayon (l>>r). On désigne par N le nombre de tours effectués par le fil. Un solénoïde permet de créer, en son intérieur, un champ magnétique uniforme.

Question 2 (2 points)
Comment modélise-t-on un solénoïde pour calculer le champ magnétique qu’il produit ?

  • On considère le solénoïde comme l’assemblage de N spires et on calcule le champ en son centre en sommant les contributions de chaque spire en ce point.

Question 3 (2 points)
Quelle est la loi physique qui permet d’obtenir la valeur du champ magnétique à l’intérieur du solénoïde en un point de son axe ?

  • C’est la loi de Biot et Savart :

d\vec B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{d\vec s \times \vec r}{r^3}

L’élément infinitésimal de longueur d\vec s parcouru par le courant I, crée le champ magnétique élémentaire d\vec B au point P :

[Graphics:HTMLFiles/169_9.gif]

Question 4 (4 points)
Quelle est l’expression du champ magnétique B créé par une spire de courant de rayon R à une distance x de son centre, distance mesurée sur l’axe passant par ce centre et perpendiculaire au plan de la spire ?

Pour un conducteur en forme de boucle, l’angle entre d\vec s et \vec r est un angle droit. La grandeur de d\vec B vaut donc :

\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{ds}{r^2}

Seule la composante selon Ox contribue au champ $\vec B$ (par symétrie, les composantes selon Oy et Oz s’annulent). Exprimons la composante de d\vec B selon Ox :

dB_x=dB sin\alpha=dB\frac{R}{r}=\frac{\mu_0 I R}{4\pi}\frac{ds}{r^3}

En additionnant tous les éléments ds du conducteur (intégrale de ds sur la spire) on obtient la circonférence 2\pi R de la spire. La grandeur du champ résultant \vec B vaut donc :

B=\frac{\mu_0 I}{2}\frac{R^2}{r^3}

En exprimant r à l’aide de R et de x, on obtient :

r=\sqrt{R^2+x^2}

B=\frac{\mu_0 I}{2}\frac{R^2_}{(R^2+x^2)^\frac{3}{2}}

Question 5 (5 points)
Comment passe-t-on de cette expression à celle donnant la grandeur du champ magnétique \vec B au centre d’un solénoïde de N spires et de longueur l ?

En multipliant l’expression ci-dessus par le nombre de spires par mètre \frac{N}{l} et en l’intégrant avec Mathematica de x=-\frac{l}{2} à x=\frac{l}{2} :

mu0*n*i/(2 l)*Integrate[R^2/(R^2 + x^2)^(3/2), {x, -l/2, l/2}, Assumptions -> {R > 0, l > 0}]

B=\frac{\mu _0\text{\textit{NI}}}{2l}\int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{R^2}{\left(R^2+x^2\right)^{\frac{3}{2}}} \, dx = \frac{\mu _0\text{\textit{NI}}}{\sqrt{l^2+4 R^2}}

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Messages

  • Quelle est l’expression du champ magnétique exterieur( a une distance x du solenoiide ) creé par une solénoiide de N spires ???

    • Pour une spire, on peut exprimer le champ magnétique à une distance x du centre de la bobine, distance mesurée sur l’axe, par B=\frac{\mu_0 I}{2}\frac{R^2}{(R^2+x^2)^\frac{3}{2}}. Pour une bobine plate (R>>l) de N spires, il suffit de multiplier ce résultat par N : B=\frac{\mu_0 N I}{2}\frac{R^2}{(R^2+x^2)^\frac{3}{2}}

  • merci a votre reponse mais j’ai une question,
    tu as simplement mutltiplier la
    expression d’une seul spire par N alors qu’ on "x" dans cette expression est la distance du point pour le quelle on calcule le champ de cette spire parsuite pour une solenoiide la distance varie d’un spire a un autre
    est ce que tu peut faire ca ???

    • En utilisant l’expression fournie par la loi de Biot et Savart pour une spire, il est possible de calculer le champ qu’elle produit à une distance x de son centre, distance mesurée sur l’axe de la bobine. On peut donc en principe calculer le champ produit par chaque spire du solénoïde en un point si on connaît l’écart ∆x entre les spires et sommer ces champs élémentaires pour obtenir le champ résultant.

  • est ce qu’il n y a pas une formule definitive du champs creé par une solenoiide de N spires de longueure l et qui se forme sur un autre solenoiide telque la distance antre les centres des 2 solenoiidesest d ????