Les jeunes arbres d’une forêt atteignent leur maturité après un certain temps et viennent augmenter le nombre des arbres adultes. L’effectif des arbres adultes diminue lorsqu’on les coupe. Chaque fois qu’un arbre est coupé, un jeune arbre est replanté. Lorsque la forêt est à l’équilibre (nombre de jeunes arbres et d’arbres adultes constants au cours du temps), on augmente brusquement le nombre de coupes annuelles. Comment les effectifs vont-ils évoluer ?

Tableau des notions et des activités

Présentation

Objectifs
– construire un modèle
– dresser un tableau
– effectuer des simulations (avec de la pâte à modeler et des allumettes)
– formuler des hypothèses
– identifier les grandeurs et phénomènes pertinents dans la description
– proposer une représentation des grandeurs et phénomènes retenus

Notions
– évolution temporelle, régime stationnaire, perturbation
– modèle
– principe de conservation
– tableau et graphique

Matériel
– pâte à modeler
– allumettes
– ordinateur (pour une simulation plus rapide qu’avec les allumettes)

Durée
– 2 fois 45 minutes

Activités

Questions

1. Quelles grandeurs et quels paramètres présents dans la description retenez-vous pour représenter schématiquement la description ?
2. Quelles sont les hypothèses de cette description ?
3. Que peut-on dire du nombre total d’arbres ?

Activités

1. Construisez une représentation schématique de la description faisant apparaître :

• les grandeurs et paramètres retenus
• les relations entre ces éléments.

2. Formulez explicitement les relations entre les différents éléments.
3. Trouvez un jeu de valeurs numériques permettant d’obtenir un équilibre (évolution stationnaire des jeunes arbres et des arbres adultes)
4. Pronostiquez l’évolution d’une situation d’équilibre lorsque :

• on augmente subitement le nombre d’arbres coupés par année ;
• on diminue subitement le nombre d’arbres coupés par année.

5. Simulez l’augmentation et la diminution des coupes et observez l’évolution de l’effectif des jeunes arbres et des arbres adultes.
6. Comparez ces évolutions à vos pronostics et commentez les éventuels désaccords.

A l’attention du maître

Réponses aux questions
Représentation schématique
Simulation
Pour gagner du temps

Réponses aux questions

1. Les grandeurs retenues sont les suivantes : « jeunes arbres » et « arbres adultes » que nous représenterons par des réservoirs. Les « arbres plantés », les « arbres coupés » et la « maturation » sont des flux. Ces trois grandeurs ont en effet la dimension de l’inverse d’un temps. Elles représentent chacune un nombre d’arbres par unité de temps. Le temps de maturation et la variation brusque des coupes sont représentés par des petits cercles qui joueront le rôle de paramètres dans le modèle.
2. L’hypothèse explicite est la suivante : chaque fois qu’un arbre est coupé un jeune arbre est replanté. Nous ferons en outre l’hypothèse que le nombre de maturations annuelles est égal au nombre de jeunes arbres divisé par une constante de temps (temps moyen de maturation τ)
3. Le nombre total d’arbres est constant.

Représentation schématique

La représentation schématique fait ici usage des éléments disponibles dans le logiciel Stella. Ce type de représentation, souvent appelée « carte » du modèle, distingue nettement les variables (réservoirs) de leurs dérivées (les flux). Les liens, en liant les variables et leurs dérivées temporelles, définissent des équations différentielles et le logiciel Stella intègre numériquement ces équations.

2. L’utilisateur définit les relations qu’il postule, choisit les valeurs initiales et Stella traduit ces relations en équations. Pour la carte ci-dessus, les relations postulées sont les suivantes ;

• arbres plantés = arbres coupés
• maturation = Jeunes arbres/temps de maturation
• arbres coupés = constante + variation brusque des coupes

À partir de ces relations et des valeurs initiales fournies, Stella établit des équations et les intègre lorsqu’on lance la simulation.

3. Si l’évolution est stationnaire, c’est que le contenu des réservoirs ne varie pas au cours du temps. Il faut donc trouver des valeurs telles que le flux entrant soit égal au flux sortant pour chaque réservoir. Si on part avec un nombre initial de jeunes arbres de 500, un nombre initial d’arbres adultes de 700 et un temps de maturation de 10 ans par exemple, le nombre d’arbres passant d’un réservoir à l’autre chaque année vaudra 50 (maturation = Jeunes arbres/temps de maturation). Il faut donc aussi couper 50 arbres par année pour équilibrer l’effectif des arbres adultes.

Simulation : mode opératoire

Vous pouvez simuler l’évolution de cette forêt avec vos élèves à l’aide de pâte à modeler et deux sortes d’allumettes, sans ordinateur et sans équation différentielle !

Créez avec de la pâte à modeler un terrain propice aux plantations (assez épais pour pouvoir enfoncer les allumettes qui représenteront les arbres).
Plantez autant d’allumettes de la première couleur qu’il y a de jeunes arbres et autant d’allumettes de la seconde couleur qu’il y a d’arbres adultes. Le cycle peut commencer :

• retirer un nombre d’allumettes « adultes » égal au nombre d’arbres coupés
• planter un nombre d’allumettes « jeunes » égal au nombre d’arbres coupés
• retirer un nombre d’allumettes « jeunes » égal au nombre de maturations
• planter un nombre d’allumettes « adultes » égal au nombre de maturations

Faites effectuer quelques cycles et demandez aux élèves de compter les allumettes de chaque type. Puis, au début d’un cycle, demandez leur d’augmenter le nombre d’arbres coupés et de poursuivre les cycles en dressant le tableau des évolutions temporelles. Ils pourront ensuite établir un graphique donnant ces évolutions et les comparer à leurs pronostics.

Pour gagner du temps

Si vous n’êtes pas allergique à l’ordinateur, vous pouvez affiner vos intuitions en utilisant une simulation informatique.