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Arts-Scènes
Introduction à la démarche scientifique
Le jeu du chaos
Où les points se placeront-ils ?

Activité permettant de découvrir, entre autres, deux notions de la théorie du chaos, celle d’attracteur et celle de figure fractale.

Article mis en ligne le 17 février 2008
dernière modification le 4 avril 2015

par bernard.vuilleumier

Cette activité permet de découvrir les notions d’attracteur et de figure fractale avec une feuille de papier, un dé, une règle, un compas et un mode opératoire (règles du jeu). En proposant une observation du jeu sans en donner les règles, il est aussi possible de réaliser une activité exploratoire visant à découvrir ces règles.

Objectifs
 représenter
 conjecturer
 interpréter
 observer
 exercer l’esprit critique

Notions
 hasard et déterminisme
 milieu d’un segment (construction au compas)
 itinéraire chaotique
 attracteur
 figure fractale

Durée
 2 fois 45 minutes

Description

Vous allez jouer au jeu du chaos ! Pour jouer à ce jeu, il vous faut une feuille de papier, un crayon, un compas, une règle et un dé. Dessinez un triangle équilatéral sur la feuille de papier et numérotez les sommets de 1 à 3. Choisissez arbitrairement un point P_0 sur votre feuille. Tirez au hasard, à l’aide du dé, un des sommets du triangle. Reliez P_0 à ce sommet et placez, au milieu du segment ainsi obtenu, le point P_1. Tirez au hasard un des sommets du triangle. Reliez P_1 à ce sommet et placez, au milieu du segment ainsi obtenu, le point P_2, et ainsi de suite.

Questions

1. À votre avis, peut-on prévoir :

  • où les points se placeront après quelques tirages
  • l’itinéraire qu’on obtiendra en reliant les points successifs obtenus.

2. Existe-t-il des régions dans lesquelles il n’y aura pas de point ?
3. La répartition des points est-elle modifiée si l’on part d’un autre point initial ?

Activités

  1. Dessinez un triangle équilatéral sur une grande feuille de papier
  2. Choisissez n’importe où un point sur la feuille
  3. Tirez au hasard un des sommets du triangle
  4. Reliez le point au sommet obtenu et prenez le milieu de ce segment
  5. Tirez à nouveau un sommet au hasard
  6. Reliez le dernier point à ce sommet et prenez le milieu du segment
  7. Continuez le processus aussi longtemps que vous en aurez le loisir !

Extension

Ceux qui voudraient utiliser un ordinateur pour obtenir plus de points peuvent définir la séquence de points P_1, …, P_n en répétant n fois les instructions suivantes :

  • tirer au hasard un des sommets du triangle
  • relier le point précédent P_n à ce sommet
  • placer au milieu du segment ainsi obtenu le point suivant P_{n+1}
  • répéter les opérations ci-dessus.

A l’attention du maître

Réponses aux questions

1. La répartition des points est totalement prévisible. Ils convergent vers un attracteur (motif de Sierpinski). Le processus est équivalent à un système de fonctions itérées (IFS) défini par trois transformations affines contractantes qui forment un opérateur. Hutchinson a démontré, pour ce type d’opérateur, l’existence et l’unicité d’un attracteur (J. E. Hutchinson, « Fractals and self-similarity », Indiana Univ. Math Journal, 30, 1981, pp. 713-747).

Motif de Sierpinski (10’000 points)

L’itinéraire obtenu en reliant les points successifs en revanche est totalement imprévisible, ce qui signifie que l’on ne peut pas prévoir à l’avance où se situera tel ou tel point, bien que la répartition globale des points soit parfaitement connue !
2. Oui, il existe des régions dans lesquelles il n’y aura plus aucun point après quelques tirages, et elles sont faciles à construire : la région centrale obtenue en prenant le milieu de chaque côté du triangle et en reliant ces milieux ne comportera, après quelques tirages, plus aucun point. Et, chose plus surprenante encore, toutes les régions définies par ce procédé, sur n’importe quel triangle ne comporteront aucun point !
3. La répartition des points ne dépend pas du point initial, et on obtient encore une répartition similaire si on part d’un triangle quelconque.

Extension

La simulation donnée en document joint permet de constater que la position de chaque point est due en partie au hasard en partie à des règles. Elle peut servir de point de départ d’une approche exploratoire qu’on peut stimuler par des questions du type :

  • Quand et comment le hasard intervient-il ?
  • Quelles sont les règles régissant le passage d’un point au suivant ?
  • Pourquoi un point est-il de telle ou telle couleur ?
  • L’itinéraire obtenu en reliant les points présente-t-il des régularités ?
  • La répartition des points forme-t-elle un motif ?
  • Du hasard et du déterminisme lequel finit par l’emporter ? Pourquoi ?

    Sujets liés

Sur OWL Math & Sciences
 L’attracteur d’un photocopieur
 Triangle de Sierpinski

From Wolfram Demonstrations Project
 Chaotic Itinerary but Regular Pattern
 Attractors of Iterated Affine Transform Systems
 Fractal Creation with Iterated Function Systems
 Sierpinski Sieve

From MathWorld—A Wolfram Web Resource
 Weisstein, Eric W. « Chaos Game. »


Wolfram Demonstrations Project : mode d’emploi