Calcul du moment d’inertie d’un cylindre
par Antonin Urner, David Optyker, Théo Cormon
Déterminer le moment d’inertie d’un cylindre à partir de son accélération quand il roule sur un plan incliné.
Mesures
Les mesures doivent vous permettre d’obtenir la grandeur a de l’accélération des cylindres à partir de laquelle vous déterminerez leurs moments d’inertie.
a) Pesez les deux cylindres et estimez l’incertitude sur les masses.
– Masse du cylindre en laiton : 1.0613 [kg]
– Masse du cylindre en aluminium : 1.0620 [kg]
L’incertitude sur ces valeurs est de plus ou moins 0,00005 [kg] et est due à l’imprécision de la balance.
b) Mesurez les dimensions des cylindres (rayon, rayon intérieur, longueur) et estimez l’incertitude sur ces dimensions.
- Cylindre laiton :
- Rayon = 0.025 [m]
- Rayon intérieur = 0.0205 [m]
- Longueur = 0.2 [m]
- Cylindre alu :
- Rayon = 0.025 [m]
- Longueur = 0.2 [m]
L’incertitude est de 0.000025 [m] sur les rayons et de 0.0005 [m] sur les longueurs.
c) Mesurez la distance séparant les deux cellules photoélectriques et estimez l’incertitude sur cette distance.
Distance : 1 [m]
L’incertitude sur cette distance est 0.001 [m].
e) Mesurez le temps nécessaire à chaque cylindre pour franchir la distance séparant les deux cellules photoélectriques pour différentes inclinaisons du plan (5 au minimum) en répétant plusieurs fois la mesure pour chaque inclinaison. Calculez le temps moyen de roulement pour chaque inclinaison.
cylindre laiton
cylindre aluminium
Calculs et graphiques
a) Calculez la masse volumique de chaque cylindre et l’incertitude sur celle-ci.
–
–
c) Mesurez les angles d’inclinaison et l’incertitude sur ceux-ci.
Nous avons mesuré le temps de descente des cylindres pour des angles d’inclinaison de 1°, 2°, 3°, 4° et 5°.
L’incertitude sur ces angles est de 0.05°.
d) Calculez les accélérations des cylindres pour les différents angles et l’incertitude sur celles-ci.
Pour cela nous utilisons la formule suivante :
| angle [°] | accélération cylindre laiton [m/s^2] | accélération cylindre alu [m/s^2] |
|---|---|---|
| 1 | 0.114 | 0.139 |
| 2 | 0.208 | 0.258 |
| 3 | 0.316 | 0.390 |
| 4 | 0.408 | 0.506 |
| 5 | 0.498 | 0.618 |
e) Reportez graphiquement l’accélération des cylindres en fonction du sinus de l’angle d’inclinaison.
Cylindre laiton (vert) Cylindre aluminium (rouge)
f) Calculez les moments d’inertie des cylindres et l’incertitude sur ceux-ci en utilisant différentes accélérations.
Pour pouvoir calculer le moment d’inertie de chaque cylindre en fonction de leurs accélérations il nous faut utiliser la formule suivante :
I = ((m*r^2*sin(teta)*g)-(m*r^2*a ))/a .
teta correspond a l’angle d’inclinaison du plan de travail.
| accélération cylindre laiton [m/s^2] | moment d’inertie [Kg*m^2] |
|---|---|
| 0.114 | 0.00033 |
| 0.208 | 0.00042 |
| 0.316 | 0.00041 |
| 0.408 | 0.00045 |
| 0.498 | 0.00047 |
| moyenne | 0.00042 |
| accélération cylindre alu [m/s^2] | moment d’inertie [Kg*m^2] |
|---|---|
| 0.139 | 0.00015 |
| 0.258 | 0.00022 |
| 0.390 | 0.00021 |
| 0.506 | 0.00023 |
| 0.618 | 0.00025 |
| moyenne | 0.00021 |
g) Comparez ces moments aux valeurs obtenues en utilisant les formules des « Tables et formulaires CRM ».
En appliquant les formules du CRM on obtient les valeurs suivantes :
Laiton : I = Itot-Iint = 0.0005592 [kg*m^2]
Aluminium : I = (m * r^2) / 2 = 0.0003125 [kg*m^2]
Ce qui est très déconcertant car les valeurs théoriques divergent quelque peu des valeurs mesurées, surtout pour le cylindre en aluminium car son moment d’inertie est plus faible et son mouvement est plus facilement perturbable.