Travail noté d’applications de mathématiques sur "les modèles chaotiques".
Introduction
Les modèles chaotiques sont des représentations graphiques de systèmes mathématiques qui présentent un exemple de la théorie du chaos. Cette théorie est traite de systèmes dynamiques déterministes mais qui présentent ce qu’on appelle une sensibilité aux conditions initiales et ont une forte récurrence. C’est-à-dire un modèle mathématique dont on peut prévoir l’évolution mais qui peut varier sensiblement selon les paramètres de départ qui lui sont attribués. Les opérations effectuées avec ces paramètres sont répétées un grand nombre de fois.
Modèles
– Ce premier modèle assez simple montre qu’en changeant un seul paramètre, la représentation graphique qui est assez régulière devient chaotique (instable).
– Ce deuxième modèle est un diagramme de bifurcation. Il est composé de points qui forment d’abord une ligne régulière puis bifurque de manière chaotique puisque les points sont ensuite répartis de manière irrégulière.
– Celui-ci s’appelle le "jeu du chaos". Il consiste à choisir un point quelconque à l’intérieur ou à l’extérieur d’un triangle équilatéral puis de choisir un des trois angles au hasard et de dessiner un point à la moitié de la distance entre le point initial et l’angle choisi et de recommencer l’opération depuis le dernier point un grand nombre de fois. C’est un attracteur puisque l’on peut voir que les points se concentre finalement dans certaines zones du triangle.
– Ce dernier modèle est aussi un attracteur, il a été créé par le célèbre physicien Hendrik Antoon Lorentz et porte son nom "Attracteur étrange de Lorenz". C’est d’ailleurs lui qui a découvert l’effet papillon.
Ou bien sur le Wolfram Demonstrations Project
Lorentz Attractor
Question
– En quoi ces Modèles sont-ils chaotiques ?
Premièrement, tous ces modèles sont tous définis par une ou des fonctions itérées, c’est-à-dire répétées, un grand nombre de fois et la récurrence est la première condition du chaos. Deuxièmement, ils dépendent tous de leurs conditions initiales et c’est là la deuxième condition.
Conclusion
Ces différents modèles nous montrent des exemples concrets de la théorie du chaos ou de ce qu’on appelle aussi familièrement "l’effet papillon" (un battement d’aile de papillon peut provoquer une tornade à l’autre bout du monde). En effet, en changeant un condition initiale le modèle peut en être complètement bouleversé.
Sources