Les gammes comportent sept notes
La plupart des gammes, qu’elles soient européennes ou non, sont constituées de sept notes. Mais on rencontre aussi des gammes de cinq sons et, bien entendu, la gamme chromatique de douze sons. Toutes les gammes présentent deux caractères communs :
– un intervalle de base, qui est généralement l’octave, c’est-à-dire le rapport le plus simple des fréquences de vibration d’une corde (2 à 1)
– une division en intervalles plus petits.
La plus usuelle des gammes de la musique européenne occidentale classique est une suite de tons et de demi-tons (do, ré, mi, fa, sol, la, si, do).

Fréquences de vibration pour les notes de différentes gammes
Les premières gammes utilisaient une division de l’octave en parties inégales. Pythagore pensait que la consonance des sons entre eux était liée à la simplicité des rapports numériques entre les longueurs des cordes vibrantes. Les fréquences de la gamme pythagoricienne sont :

Au XVI^e siècle, Gioseffo Zarlino proposa une gamme de fréquences :

A la fin du XVII^e siècle, Andreas Werckmeister construisit la gamme tempérée qui divise l’octave en douze parties égales ou douze demi-tons tempérés. Les fréquences sont alors les suivantes :

Relation entre longueur de corde vibrante et fréquence de vibration
L’Antiquité connaissait, pour avoir observé l’oscillation des cordes de la lyre, le fait qu’aux vibrations lentes correspondent les sons graves et aux rapides les sons aigus, mais, faute de pouvoir compter les oscillations, elle n’établit pas de relation quantitative entre les notes de la gamme et le nombre de vibrations par unité de temps. Les longueurs de cordes n’étaient donc pas reliées aux fréquences de vibration. C’est Joseph Sauveur qui, au XVIII^e siècle, parvint, en utilisant le phénomène des battements, à déterminer la fréquence absolue d’un son donné. On s’aperçut alors que les fréquences étaient exactement en rapport inverse des longueurs de cordes : pour une corde de longueur deux fois plus petite par exemple, le nombre de vibrations par seconde, toutes choses égales par ailleurs, est deux fois plus grand.

Une légende fausse… qui fit autorité durant quinze siècles !
Selon une légende rapportée par Nicomaque au II^e siècle de notre ère, « un jour, Pythagore se promenait en réfléchissant aux problèmes de la consonance, et cherchait s’il ne pouvait imaginer pour l’oreille un secours analogue à celui que possède la vue avec le compas ou la règle, le toucher avec les balances ou les mesures. Il vint à passer, par une coïncidence providentielle, devant un atelier de forgeron et entendit très distinctement des marteaux frappant sur l’enclume et donnant des sons consonants entre eux, à l’exception d’un seul couple. Rempli de joie, il entra dans l’atelier comme si un dieu secondait son dessein, et par des expériences variées, reconnut que c’était la différence de poids qui causait la différence de son, et non l’effort des forgerons, ni la force des marteaux. Il releva avec soin le poids des marteaux et leur force impulsive, puis rentra chez lui. Il fixa alors un clou unique dans un angle de la muraille, pour éviter que deux clous différents, ayant chacun leur matière propre, ne faussent l’expérience. A ce clou, il suspendit quatre cordes semblables par la
substance, le nombre des fils, la grosseur, la torsion et fit supporter à chacune un poids qu’il fixa à l’extrémité inférieure. Il donna à chaque corde une longueur absolument égale, puis, frappant ensemble les cordes deux à deux, y reconnut les consonances qu’il cherchait, et qui variaient avec chaque couple de cordes. Avec deux poids de 12 et de 6, il obtint l’octave, et établit ainsi
que l’octave est dans le rapport 2/1, ce qu’il avait déjà entrevu par le poids des marteaux sur l’enclume. Avec 12 et 8, il obtint la quinte, d’où il tira le rapport 3/2. Avec 12 et 9, la quarte, de rapport 4/3. Comparant les poids 9 et 8, il y reconnut l’intervalle d’un ton, de rapport 9/8. Il put ainsi définir l’octave et le ton à partir de ces rapports. »

Les vertus de l’expérimentation
Les premières considérations rapportées concernant la consonance sont fausses. Elles ont toutefois fait autorité pendant quinze siècles alors qu’une simple expérimentation aurait suffi à montrer qu’elles étaient erronées !

Exercices

Exercice 1
– Énoncez les « résultats expérimentaux » obtenus par Pythagore.
– Réalisez un montage expérimental (ou une simulation informatique) permettant de tester les affirmations contenues dans cette légende, notamment les relations entre les poids suspendus à une corde et les sons qu’elle produit en vibrant.
– Proposez, en vous appuyant sur vos observations, une relation entre la tension de la corde et le son qu’elle produit.

Exercice 2
– On appelle intervalle entre deux notes le rapport des fréquences caractérisant ces notes. La gamme tempérée comporte 13 notes (do, do#, ré, ré#, mi, fa, fa#, sol, sol#, la, la#, si, do) et douze intervalles égaux séparant ces notes. Sachant que la première note de la gamme est caractérisée par une fréquence f et la dernière par une fréquence 2f, déterminez les fréquences de chacune des notes.
– Selon la légende, Pythagore donnait, pour le ton, un intervalle de 9/8. Comparez cet intervalle à celui de la gamme tempérée. Calculez la différence relative entre les intervalles de ces deux gammes.

Exercice 3
Supposons qu’une corde de longueur 2l donne, en vibrant, la note do. Une corde de longueur l donne le do situé une octave au-dessus. La gamme de Pythagore peut être construite à l’aide de moyennes harmoniques et arithmétiques de longueurs.
– La corde dont la longueur est égale à la moyenne harmonique des longueurs l et 2l donne sol. Quelle est la longueur de la corde donnant sol ?
– La corde dont la longueur est égale à la moyenne arithmétique des longueurs l et 2l donne fa. Quelle est la longueur de la corde donnant fa ?
– Calculez, en partant des longueurs l et 2l, les longueurs de corde donnant les notes si, mi, la, ré en utilisant des moyennes harmoniques ou des moyennes arithmétiques. N.B. Les longueurs obtenues doivent toujours être comprises entre l et 2l pour que les notes se trouvent dans l’octave de départ.

Exercice 4
– Donnez la longueur des cordes vibrantes produisant :

• la gamme de Pythagore
• la gamme de Zarlino
• la gamme tempérée.

Exercice 5
– La succession des notes d’une gamme s’obtient en multipliant la fréquence fondamentale par les intervalles consécutifs. Que vaut l’intervalle entre deux notes :

• situées à l’octave l’une de l’autre
• formant une quinte pythagoricienne
• formant une quinte de la gamme de Zarlino
• formant une quinte de la gamme tempérée.

Exercice 6
– Calculez l’intervalle entre deux notes situées :

• à sept octaves l’une de l’autre
• à douze quintes pythagoriciennes l’une de l’autre.

– Que vaut l’intervalle (appelé comma pythagoricien) entre les deux intervalles ci-dessus ?
– Quel est l’intervalle pour la quinte qui satisfait l’équation :

– L’équation :

possède-t-elle une solution ? Si oui, laquelle ? Si non, pourquoi ?

Exercice 7
– Écrivez un programme permettant de construire n’importe quelle gamme sur un intervalle I divisé en n parties égales.
– Pour passer d’une note à une autre note, il faut multiplier sa fréquence par un nombre donné. Comment pourriez-vous exprimer le passage d’une note à une autre à l’aide d’une addition ?
– Écrivez un programme permettant d’obtenir, pour la gamme tempérée :

• 12 intervalles additifs (procédé d’Euler)
• 301 intervalles additifs (procédé de Savart)
• 1200 intervalles additifs.

– Calculez et comparez les intervalles additifs des différentes gammes.