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Région des Délices 2008-2009

Cinématique vectorielle

Épreuve 301PYos

Vecteur position, vecteur vitesse et vecteur accélération. Vitesse moyenne et vitesse instantanée. Trajectoire : sommet, portée et temps de vol. Quantité de mouvement et chocs.

Article mis en ligne le 14 octobre 2008

dernière modification le 18 juin 2013

par Gaston Lagaffe

Ballistic Trajectories from the Wolfram Demonstrations Project by Jeff Bryant

Horaire
Un mobile se déplace au voisinage de la surface terrestre. On néglige le frottement. Il est donc soumis à une force constante qui est son poids. Son horaire s’écrit :

Horaire d’un mouvement dans un champ de force uniforme

Le mouvement d’un projectile soumis à son seul poids est un mouvement uniformément accéléré (accélération constante).

Choisissez un système d’axes Oxy dont l’axe y est aligné sur le poids et dirigé vers le haut puis calculez, à partir de $\vec r_0$ =(0, 2) m et $\vec v_0$ =(3, 1) m/s :

– l’angle de tir
– l’altitude maximale atteinte par le projectile
– la vitesse du projectile au point le plus haut
– le temps de montée
– le temps de descente

N. B. Le code Mathematica permettant d’obtenir les réponses se trouve dans des cadres.

Horaire : réponses
– L’angle de tir s’obtient à partir des composantes du vecteur vitesse initiale :

$\alpha=arctg(\frac{v_{0y}}{v_{0x}})$

On trouve α=18.4°

r0 = {0, 2};
v0 = {3, 1};
g = {0, -9.81};
r = {x, y};
horaire = r == r0 + v0*t + 1/2 g*t^2;
sol = Solve[Eliminate[horaire, t], y];
ArcTan[v0[[2]]/v0[[1]]]/Degree // N

– L’altitude maximale est la valeur de y lorsque la dérivée de la fonction donnant la trajectoire s’annule. Elle vaut 2.05 m

Solve[D[y /. sol, x] == 0, x];
hmax = y /. sol /. %

– La composante verticale de la vitesse est nulle au point le plus haut. La vitesse est donc égale à la composante horizontale qui est constante et qui vaut 3 m/s.
– Le temps de montée s’obtient en divisant la composante selon y de la vitesse initiale par la grandeur de l’accélération. On trouve 0.10 s.

v0[[2]]/Abs[g[[2]]]

– Le temps de descente est le temps nécessaire pour franchir la hauteur h_max (MRUA). Il vaut 0.65 s.

Sqrt[2 hmax/Abs[g[[2]]]]

Interprétation de graphiques
1. L’accélération d’un mobile dont la vitesse initiale est nulle est donnée par le graphique suivant :

1. Établissez les graphiques donnant :

la vitesse du mobile en fonction du temps
la distance parcourue par le mobile en fonction du temps

2. Calculez la vitesse moyenne du mobile sur tout le trajet.

Interprétation de graphiques : réponses

– Vitesse moyenne : $\frac{d_{totale}}{t_{total}}$ =1.5 m/s

Choc
Une bille de plastiline possède une vitesse u. Une seconde bille heurte la première et se colle à elle. Le système final a une vitesse de même grandeur que la première bille, mais de direction perpendiculaire. Les deux billes ont même masse. Exprimez la vitesse initiale de la seconde bille en fonction de u (grandeur et angle formé avec Ox).

Choc : réponses
On utilise le principe de la conservation de la quantité de mouvement (grandeur vectorielle). On décompose les vecteurs selon Ox et Oy, ce qui donne, si $\vec v$ est la vitesse de la deuxième bille avant le choc et $\vec w$ celle des billes solidaires après le choc et si || $\vec w$ ||=|| $\vec u$ || :

Selon Ox : mu - mv cosα= 0 Selon Oy : mv sinα = 2mu

Ce qui permet d’obtenir :
– α=arctg(-2)=-63.4°
– $v=\frac{u}{cos\alpha}=2.24u$

Horaire d’un mouvement dans un champ de force uniforme Le mouvement d’un projectile soumis à son seul poids est un mouvement uniformément accéléré (accélération constante).

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