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Dynamique

Oscillations

Équations du mouvement

Rapport de laboratoire sur les oscillations

Article mis en ligne le 6 mars 2007

dernière modification le 17 août 2008

par Laurent Chuat, Yannick Schlaeppi

Le mouvement périodique est à la base de tout l’édifice créé pour rendre compte de l’évolution temporelle d’un système. Dès lors, connaître la période d’un oscillateur permet de calculer des grandeurs affiliées telles que la raideur d’un ressort ou encore g, l’accélération terrestre pour un pendule, grâce aux liens qui unissent ces différentes variables.

But : Mettre en évidence les relations entre les différentes variables qui entrent en jeu avec un oscillateur harmonique ou un pendule.

Matériel :

Un jeu de masses de 0.05 et 0.01 kg
Un pendule
Plusieurs ressorts aux constantes différentes
Un détecteur Vernier et le logiciel LabPro (optionnel)
Un chronomètre
Un double-mètre

1. Généralités

La période d’un oscillateur harmonique s’écrit sous la forme $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ avec la masse de l’oscillateur et la constante du ressort. Cette constante peut s’obtenir avec la formule avec la force appliquée au ressort et l’écartement par rapport à la position d’origine du ressort sans masse.

Dans le cas d’un pendule, la formule est similaire et s’écrit sous la forme $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ avec la longueur du pendule et l’accélération terrestre. Cette formule n’est par contre valable que pour de petites amplitudes.

2. Oscillateur harmonique

Nous avons à notre disposition 2 ressorts. Il est demandé de trouver expérimentalement leur constante . Grâce à LabPro et son détecteur, il devient relativement simple de calculer cette constante en accrochant différentes masses aux ressorts et en mesurant leur position d’équilibre.
Il est également possible de se passer du détecteur et de mesurer le tout à la main, mais avec les imprécisions manuelles qui en découlent alors.

Les valeurs obtenues sont les suivantes :

Ressort 1 :

Position (m)	Force (N)
0.896	0
0.859	0.589
0.828	1.079
0.808	1.570
0.767	2.060

Constante = 16.35 N/m

Ressort 2 :

Position (m)	Force (N)
0.853	0
0.715	0.589
0.576	1.079
0.440	1.570

Constante = 3.78 N/m

Vu que nous avons utilisé le détecteur et le programme LabPro, nous considérons ces mesures comme étant exactes et que l’incertitude dessus est nulle ou tout du moins négligeable.

Suivant cela, nous accrochons une masse à ces 2 ressorts et mesurons cette fois-ci, la période d’oscillation. Les résultats obtenus sont les suivants :

Pour le premier ressort , avec une masse de 0.11 kg $\pm$ 0.005 kg, le temps obtenu pour 20 oscillations est de 10.9 s, ce qui nous donne une période de 0.55 s $\pm \frac{1}{20}$ s.

Pour le deuxième ressort, avec une masse de 0.06 kg $\pm$ 0.005 kg, le temps obtenu pour 20 oscillations est de 17.9 s, soit une période de 0.85 s $\pm \frac{1}{20}$ s.

Puis, grâce à la formule $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ , nous pouvons donc isoler , ce qui nous donne $k =\frac{4 \pi^2 m}{T^2}$ soit :

– pour le premier ressort, une constante calculée de 14.62 N/m $\pm$ 3.26 N/m.

– pour le second ressort, une constante calculée de 3.28 N/m $\pm$ 0.66 N/m

Nos résultats sont certes quelques peu éloignés mais gardent une assez bonne précision, principalement pour le second ressort et en tenant compte de l’incertitude. La différence peut s’expliquer par le fait que lors de l’expérience pratique, ce n’était pas seulement la masse qui oscillait, mais également le ressort qui n’oscillait pas parfaitement droit (verticalement) mais également sur les côtés.

Il était ensuite demandé de déterminer la masse , permettant de doubler la période .

$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

Nous remplaçons notre nouvelle masse par une inconnue :

$2T = 2 \pi \sqrt{\frac{x}{k}}$

$4T^2 = 4 \pi^2 \frac{x}{k}$

$x = \frac{4 T^2 k}{4 \pi^2}$

Nous remplaçons ici par $2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ ce qui donne :

$x = \frac{16 \pi^2 \frac{m}{k} k}{4 \pi^2}$

et enfin :

Il faut donc une masse 4 fois plus grande pour doubler la période. Après vérification avec le second ressort et une masse de 0.24 kg, la période obtenue est de 1.59 s $\pm \frac{1}{20} s$ , ce qui est très proche de la valeur théorique que nous devrions obtenir ( 1.70 s $\pm \frac{1}{10} s$ ).

3. Pendule

Il nous est demandé ensuite de calculer , l’accélération terrestre, à partir de la période et la longueur d’un pendule.
Nous prenons donc un pendule de longueur valant 0.658 m $\pm 0.001 m$ . Sa période mesurée sur 10 oscillations est alors de 1.62 s $\pm \frac{1}{10} s$ .
Appliquons ensuite la formule $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ et donc $g = \frac{4 \pi^2 l}{T^2}$ , ce qui nous donne un valant $9.9 m/s^2 \pm 1.2 m/s^2$ , valeur très proche du 9.81 théorique à Genève. La précision du résultat dépend grandement de celle des mesures.

La question suivante nous demandait de vérifier que pour de petites amplitudes, la période était bien proportionnelle à $\sqrt{\frac{l}{g}}$ .
Nous avons trouvé les valeurs suivantes :

Longueur (m)	Période (s)
0.56	15/10 s = 1.5 s
0.50	14.4/10 s = 1.44 s
0.32	11.5/10 s = 1.15 s
0.25	10.4/10 s = 1.04 s

**Représentation de $\sqrt{\frac{l}{g}}$ en fonction de la période**

Représentation graphique des mesures de $\sqrt{\frac{l}{g}}$ en fonction de la période avec droite affine moyenne (attention, les axes ne sont pas orthonormés et ne partent pas de l’origine).

Les relatives faibles différences montrent donc bien que la période est proportionnelle au rapport $\sqrt{\frac{l}{g}}$ .

Dans la formule de la période, l’amplitude n’apparait pas. Toutefois comme dit précédemment, cette formule n’est valable que pour de petites oscillations. Faisons maintenant varier l’amplitude et mesurons cette période .

Angle (°)	Période (s)
10	1.2 s
20	1.31 s
30	1.34 s
40	1.40 s
50	1.42 s
60	1.44 s

**Représentation de la période en fonction de l’amplitude**

Représentation graphique de la période en fonction de l’amplitude du lâcher (les axes ne sont pas orthonormés et ne partent pas de l’origine).

Nous voyons alors clairement que plus l’angle avec lequel nous lâchons le pendule est grand, plus la période augmente. La formule $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ n’est donc plus valable lorsque cet angle devient trop grand.

4. Questions

a. Vérifiez que l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique admet comme solution la fonction $x(t) = A sin (\omega t + \phi )$ .

Avec la relation fondamentale de la dynamique qui veut que et la formule de la force de rappel d’un ressort , nous pouvons poser l’équation différentielle comme et donc

Remplaçons ensuite qui est la dérivée seconde de l’équation horaire soit :

$- m \omega^2 A sin(\omega t+ \phi) = - k x(t)$

Postulons ensuite que $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ et donc que $\omega^2 = \frac{k}{m}$ il nous reste donc en éliminant également les signes négatifs des 2 termes que

$x(t) = A sin (\omega t + \phi )$

b. Donnez une interprétation physique des grandeurs , $\omega$ et $\phi$ .

Dans l’oscillateur harmonique est l’amplitude de celui-ci, ce qui peut être traduit par l’écart maximum par rapport à la position d’équilibre de l’oscillateur au repos, ou encore par le rayon du cercle d’un mouvement circulaire uniforme correspondant à cet oscillateur.

$\omega$ est, rapporté à un MCU de rayon et de période , la vitesse angulaire du mobile.

$\phi$ correspond à la position initiale de notre oscillateur, dont la valeur est l’angle en radians que fait le mobile avec le centre d’un cercle de rayon correspondant à notre oscillateur.

c. Établissez à partir de l’équation du mouvement de l’oscillateur harmonique, l’expression donnant la période d’oscillation.

Reprenons l’équation différentielle

Remplaçons cette fois-ci par l’équation horaire de l’oscillateur harmonique et par l’équation de l’accélération de l’oscillateur harmonique ce qui nous donne :

$- m \omega^2 A sin(\omega t+ \phi) = - k A sin(\omega t+ \phi)$

Après simplification, nous obtenons que $\omega^2 = \frac{k}{m}$ et donc $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ .
Sachant que $2\pi = \omega T$ , nous obtenons finalement en substituant $\omega$ que $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ .

5. Conclusion

Ce laboratoire a mis en évidence les relations entre les différentes variables qui interviennent dans un oscillateur harmonique et un pendule. Nous avons également vu qu’en connaissant une de ces variables, il nous était ensuite possible de calculer les autres sans trop se tromper. Les équations relatives à la période ont été particulièrement mises à l’épreuve et ont donné des résultats satisfaisants, montrant ainsi leur validité.

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