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Limite et infini

mardi 12 mai 1998

La notion de limite est habituellement associée à celle d’infini. La première démonstration suggérant ce lien se trouve dans le dixième livre des Eléments d’Euclide, proposition I : « Soient deux grandeurs inégales AB et C, la grandeur AB étant la plus grande. Si l’on retranche de AB une partie plus grande que sa moitié et qu’on fasse toujours la même chose, alors on arrivera à une grandeur plus petite que la grandeur C ». D’une manière tout à fait remarquable, Euclide lie cette proposition à l’énoncé : « à force de reporter la longueur donnée C, on arrivera à dépasser n’importe quelle longueur donnée à l’avance ». Et il démontre que la proposition I découle de cet énoncé. Euclide a donc eu l’intuition du lien entre infini et limite finie en imaginant un processus de découpage potentiellement infini. Et l’énoncé, qui n’est autre que l’axiome d’Archimède, laisse entrevoir la possibilité de définir la notion de limite sans référence explicite à celle d’infini. Mais cette définition mettra très longtemps à se préciser et il faudra attendre 1865 pour que Weierstrass la formule sans recourir à l’infini.


- Limit of a Family of Curves from Wolfram Demonstrations Project


Wolfram Demonstrations Project : mode d’emploi

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