Le problème de la brachistochrone

Les étonnantes propriétés de la cycloïde
lundi 19 juin 2006
par  Bernard Vuilleumier
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Thibault Acolas qui réalise un travail sur les propriétés temporelles des cycloïdes m’a posé quelques questions. Cet article essaie d’apporter des éléments de réponse à ces questions.

- Les solutions apportées par de L’Hospital, Newton et Leibniz au problème de la brachistochrone sont-elles les mêmes que celles d’Euler Lagrange et de Jean Bernoulli ?

  • La solution du problème de la brachistochrone est unique. Il s’agit d’un arc de cycloïde dont l’extrémité « haute » possède une tangente verticale. Je n’ai pas vu les solutions apportées par les différents auteurs dans les textes originaux mais celles de de L’Hospital et Newton n’utilisent certainement pas la notation mathématique actuelle. Celle de Leibniz en revanche pourrait être plus proche de ce que nous connaissons aujourd’hui car, en 1686 déjà, il écrit l’équation de la cycloïde dans une notation voisine de la notation actuelle.

- Que fait au juste le calcul différentiel dans ce problème et qu’apporte le calcul des variations ?

  • Le calcul différentiel s’appuie sur des différences pour lesquelles Leibniz a inventé un langage universel et un symbolisme approprié. Partant de suites, Leibniz utilise x pour représenter l’ordre des termes et y la valeur de chacun des termes. L’idée fondamentale de ce calcul est d’obtenir un rapport de différences \frac{dy}{dx} lorsque dx devient très petit. Le problème de la brachistochrone fait intervenir le calcul différentiel et intégral pour calculer un temps de parcours et un calcul des variations pour trouver la valeur minimale de l’intégrale qui donne ce temps de parcours.

- D’où vient l’équation d’Euler Lagrange ?

  • L’équation d’Euler Lagrange peut s’établir à partir du postulat de Hamilton qui affirme que le mouvement d’un système conservatif depuis l’instant t_1 jusqu’à l’instant t_2 est tel que la variation de l’intégrale de ligne I=\int_{t_1}^{t_2}LdtL est le lagrangien du système, est égale à zéro. Le principe de Hamilton est à la fois une condition nécessaire et suffisante pour l’équation d’Euler Lagrange.

- Quelle est l’interprétation géométrique de l’angle \theta dans les équations paramétriques de la cycloïde ?

  • L’angle \theta s’interprète facilement si on considère la cycloïde comme la trajectoire d’un point d’un cercle de rayon r roulant sur un plan. En écrivant les équations horaires pour le mouvement du centre du cercle h1(t) et pour la rotation du point autour de ce centre h2(t), on obtient l’équation horaire du point h(t) qui est équivalente aux équations paramétriques de la cycloïde :

h1[t_] := {v*t, r}
h2[t_] := r{Cos[omega*t + phi], Sin[omega*t + phi]}
h[t_] := h1[t] + h2[t]

N. B. L’angle \phi permet de fixer la position initiale du point suivi.

L’angle \theta est l’angle formé par la rayon du cercle avec la verticale.

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Cercle roulant sur un plan
Le point du cercle initialement en contact avec le plafond décrit une cycloïde lorsque le cercle roule. L’angle \theta est l’angle entre le rayon du cercle aboutissant à ce point et la verticale. Dans cet exemple, \phi vaut \frac{\pi}{2} et \theta varie de 0 à \pi

Instructions Mathematica permettant de réaliser une animation

Pour en savoir plus
- Robert Ferréol, Courbe brachistochrone
- Paul Kunkel, The Brachistochrone
- Serge Mehl, Brachistochrone et calcul des variations



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