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301PYos. Épreuve semestrielle

Énergie et oscillations : questions réponses

Préparation à la semestrielle

dimanche 14 janvier 2007, par Bernard Vuilleumier

Si vous avez d’autres questions au sujet de la semestrielle, posez-les à la suite de cet article afin qu’elles soient regroupées et que chacun puisse les consulter et profiter des réponses.

Réponses à quelques questions qui m’ont été posées par courrier.

Énergie
– Exercice 12

Q. Dans l’exercice 12 vous ne donnez pas la constante du ressort mais une force F et je ne saisis pas très bien l’énoncé

R. Le ressort est contracté par deux forces opposées de grandeur F et il se raccourcit de x. Imaginez par exemple que vous appuyez sur un ressort vertical posé sur le sol avec une force F. Le sol exerce à son tour une force F sur le ressort et voilà la situation décrite dans l’énoncé réalisée.

Q. La formule de résolution nécessite le k du ressort, comment l’obtenir à partir de F ?

R. Connaissant la force exercée sur une extrémité du ressort et la longueur x dont il se raccourcit, vous pouvez trouver sa raideur k (F=-kx). Vous utilisez ensuite la conservation de l’énergie mécanique pour trouver la vitesse d’expulsion de la bille (Eélastique=Ecinétique). Attention aux unités !

Oscillations harmoniques
– Exercice 1

Q. Combien faut-il de temps pour que la vitesse du wagonnet passe de la valeur v à la valeur u ?

R. La vitesse du wagonnet est donnée, en fonction du temps par $v(t)=\omega A cos(\omega t)$ . On souhaite que cette vitesse prenne la valeur , ce qui donne l’équation $u=\omega A cos(\omega t)$ , équation qu’il faut résoudre par rapport à pour obtenir la réponse.

Q. Pouvez-vous m’expliquer quel est le lien entre le MCU et l’oscillateur harmonique (pas clair) s’il-vous-plaît ?

R. Le lien entre un MCU et l’oscillateur harmonique est illustré par l’animation suivante. En d’autres termes, la projection d’un mouvement circulaire uniforme sur l’axe y donne un mouvement harmonique.

– Exercice 2

Q. k n’est pas donné mais une force F. Comment obtenir k ?

R. Vous connaissez la force exercée sur une extrémité du ressort et la contraction. Vous pouvez donc trouver k. La fréquence f est l’inverse de la période T qui est liée à la raideur (et à la masse).

Q. Lorsqu’on ajoute un 2ème ressort la fréquence change, comment poser l’équation, les k s’ajouteraient-ils ?

R. En plaçant un ressort identique de l’autre côté du wagonnet, on double la raideur (pour déplacer le wagonnet d’une quantité x, il faut étendre un ressort et contracter l’autre).

– Exercice 5

Q. L’amplitude n’apparait pas dans l’équation de l’énergie, mais dans l’horaire, faut-il mixer les 2 équations ?

R. Lorsque l’amplitude est maximale, la vitesse de l’oscillateur est nulle. L’énergie se trouve donc sous forme d’énergie élastique E. Il faut ensuite trouver la valeur de x pour que l’énergie élastique soit réduite à 0.4 E.

– Exercice 6

Q. Aucune donnée ? Je poserais l’équation de l’énergie mécanique du ressort mais comment résoudre sans donnée et ensuite obtenir le temps ?

R. Il faut partir de l’équation qui postule l’égalité de l’énergie cinétique et de l’énergie élastique et isoler x par exemple. En substituant ensuite x et v par les expressions qui donnent respectivement la position et la vitesse en fonction du temps, puis en simplifiant, on trouve sin( $\omega t$ )=cos( $\omega t$ ), ce qui permet de trouver t, puis, en introduisant la valeur trouvée pour t dans l’horaire $x(t)=Asin(\omega t)$ , on trouve x.

– Exercice 8

Q. Est-ce juste de poser l’équation de la vitesse $v(t) = A cos(\frac{2\pi}{T} t+\phi)$ en posant T = 0.4 s, $\phi$ = 0 et v = 3 m/s ?

R. Attention, l’horaire que vous donnez pour la vitesse est incomplet. En dérivant l’horaire de la position $x(t)=Asin(\omega t+\phi)$ on obtient $\omega A cos(\omega t+\phi).$ La période T vaut 0.4 (s). La vitesse maximale vaut $v_{max} =\omega A.$ Il faut exprimer $\omega$ en fonction de T puis isoler A.

Rien de bien compliqué donc, comme vous pouvez le constater.

Messages

15 janvier 2007, 14:13, par Aymeric

Bonjour M. Vuilleumier,
Merci pour ces détails sur ces séries d’exercices. Cependant, j’ai encore quelques soucis avec certains d’entre eux.

Premièrement, à l’exercice 6, pourriez-vous m’éclairer davantage sur la résolution de l’équation sin(wt) = cos(wt) ?

Ensuite, dans l’exercice 8, je n’arrive pas à comprendre d’où vient l’omega dans l’équation Vmax = omega . Amplitude, sachant que l’on a seulement Vmax et le paramètre "t".

Merci d’avance pour ces réponses.
Passez une bonne journée !
- 15 janvier 2007, 15:27, par Bernard Vuilleumier
  
  Bonjour Aymeric,
  
  Exercice 6
  
  Si vous n’avez pas encore rencontré ce type d’équation, vous pouvez essayer de la résoudre avec votre calculatrice (si celle-ci le permet). Sinon, vous pouvez vous en sortir de la manière suivante. Vous utilisez la relation $cos^2(x)+sin^2(x)=1$ pour reformuler votre équation : $sin(\omega t)=\sqrt{1-sin^2(\omega t)}$ . Vous posez alors $sin(\omega t)=x$ et vous obtenez, en résolvant par rapport à $x$ , $x=\frac{1}{\sqrt 2}$ , ce qui permet d’obtenir $\omega t=arcsinus\frac{1}{\sqrt 2},$ donc $t=\frac{\pi}{4\omega}=\frac{T}{8}$ en utilisant la définition de $\omega=\frac{2\pi}{T}.$ Une autre approche plus « piétonne » consisterait à dessiner les fonctions sinus et cosinus, à chercher la première valeur de l’abscisse pour laquelle elles se coupent et à exprimer cette valeur comme une fraction de la période $T.$
  
  N. B. Les valeurs numériques indiquées dans les réponses de la série sont obtenues pour une masse m de 120 g et une raideur k de 20 N/m.
  
  Exercice 8
  
  En dérivant l’horaire $x(t)=Asin(\omega t)$ par rapport à $t$ , on obtient $v(t)=\omega A cos(\omega t)$ . La vitesse est maximale lorsque $cos(\omega t)$ vaut 1, d’où $v_{max}=\omega A.$
15 janvier 2007, 14:27, par Yannick

Toujours pour l’exercice 6 :

Une fois trouvé t (je suis d’ailleurs comme Aymeric, dans le flou pour la résolution de ce t ), il nous manque A et w pour trouver x en posant l’équation horaire du mouvement harmonique, me trompe-je ?
- 15 janvier 2007, 15:53, par Bernard Vuilleumier
  
  Exercice 6
  
  Bonjour Yannick,
  
  Non, vous ne vous trompez pas complètement. Je n’ai en effet donné ni l’amplitude d’oscillation A, ni la valeur de la masse m, ni la raideur k du ressort. Vous ne pouviez donc pas obtenir de valeurs numériques pour la position et le temps demandés. Mais vous pouvez exprimer la position x de la masse en fonction de cette amplitude d’oscillation A. Il n’est en revanche pas nécessaire de connaître $\omega$ . Une fois le temps t trouvé (voir ci-dessus la réponse à Aymeric), vous l’introduisez dans l’horaire $x(t)=A sin(\omega t)$ , vous utilisez la relation $\omega=\frac{2\pi}{T}$ , et vous obtenez $x=Asin(\frac{\pi}{4})=\frac{A}{\sqrt 2}.$
- 15 janvier 2007, 16:45, par Yannick
  
  Merci beaucoup, j’avais fini par trouver le temps $\frac{T}{8}$ en me souvenant que les fonctions sinus et cosinus étaient égales en $\frac{\pi}{4}$
  
  Ce qui me perturbait le plus était que dans cette série, vous donniez comme réponse des valeurs numériques précises
  
  Rép. À ± 3.5 cm de la position d’équilibre, t=± 0.06 s.
  
  Et merci aussi pour les autres exercices.
15 janvier 2007, 14:37, par Antonio Rodriguez Pupo

Pourquoi y’a-t-il besoin de travailler en radians plutôt qu’en degrés avec les oscillations harmoniques ?

Merci
- 15 janvier 2007, 16:10, par Bernard Vuilleumier
  
  Il n’y a aucune obligation de travailler en radian lorsqu’on étudie les osillations, mais c’est plus pratique. Lorsque vous écrivez par exemple, pour une vitesse angulaire ou une pulsation $\omega=\frac{2\pi}{T}$ , vous travaillez en radian car l’angle parcouru est exprimé en radian mais personne ne vous interdit d’écrire $\omega=\frac{360}{T}$ . Remarquez toutefois que les formules données dans les tables utilisent le radian comme unité d’angle :
  $T=2\pi \sqrt \frac{m}{k}$ $\omega=\sqrt \frac{k}{m}$ $\omega T=2\pi$
15 janvier 2007, 15:22, par Antonio

Vous n’expliquez pas exactement comment poser k.

Est-ce bien,

K[N/m] = F[N]/déplacement[m] = 1/0.05 [N/m] ?

Mais dans ce cas comment expliquer que le résultat de f ne corresponde pas au corrigé ?

f = 1/T = 1/(2PI*(m/k)^1/2)= 1/(2PI*(0.12/20)^1/2)

f = 2.05468148 et non 2.91

Cela provient-il d’une transformation en Hz ?

Merci
- 15 janvier 2007, 15:27
  
  Oups... c’est bon en fait j’avais confondu les réponses. Désolé
15 janvier 2007, 16:19

M. Vuilleumier,

N’ayant pas droit à la table, on risque fortment d’avoir des blancs durant l’épreuve.

Sera-t-il possible que vous nous donniez un rappel (au tableau par exemple) des formules, pendant l’épreuve ?

Merci Beaucoup
- 15 janvier 2007, 16:38, par Bernard Vuilleumier
  
  À qui ai-je l’honneur ? J’aime bien que les personnes qui posent des questions, et a fortiori celles qui sollicitent des faveurs, déclinent leur identité, à tout le moins qu’elles donnent leur prénom. Merci d’y penser à l’avenir.
  
  Je passerai répondre aux éventuelles questions de compréhension d’énoncé demain matin. J’en profiterai pour écrire au tableau quelques expressions que vous devriez connaître mais qui vous auront peut-être échappé en raison du stress !
- 15 janvier 2007, 22:34, par Rioza
  
  il y a une faute sur le mot ’fortEment’.
15 janvier 2007, 21:23, par Jean-Pierre

Bonjour,

en relisant l’exercice qu’on a fait vendredi pour le funiculaire, je vois que la formule finale qu’on a écrite ne prend pas en compte la force de frottement (ex 6).
Quel serait la formule si on intégrait cette force ?
- 15 janvier 2007, 22:12, par Bernard Vuilleumier
  
  Énergie
  
  Exercice 6
  
  Pour obtenir la vitesse lorsqu’on tient compte de la force de frottement, il faut procéder ainsi :
  
  – Utiliser le théorème de l’énergie cinétique qui affirme que la somme algébrique des travaux des forces qui agissent sur le mobile est égale à sa variation d’énergie cinétique.
  – Inclure dans les travaux celui de la force de frottement.
  – Résoudre l’équation par rapport à la vitesse cherchée.
  
  Vous devriez obtenir l’expression suivante ou quelque chose d’équivalent :
  $v=\sqrt{\frac{v_0^2 l-2dg(h_1-h_2+\mu l)}{l}}$
  où $\mu$ est le coefficient de proportionnalité entre la force de frottement $F_{frott}$ et le poids $mg$ ( $F_{frott}=\mu mg$ ).
- 15 janvier 2007, 23:20
  
  Je ne comprend pas pourquoi il y a un signe - a la place de +, comme dans le cours. (entre v0 et 2dg)
- 15 janvier 2007, 23:34, par Bernard Vuilleumier
  
  Les équations à résoudre, issues toutes deux du théorème de l’énergie cinétique, sont celles-ci :
  
  – Sans frottement
  Solve[m*g*d*(h2 - h1)/l == m*v^2/2-m*v0^2/2, v]
  – Avec frottement :
  Solve[(m*g*(h2 - h1)/l - mu*m*g)d == m*v^2/2-m*v0^2/2, v]
  Vérifiez que vous avez bien les mêmes équations de départ dans vos notes.
- 15 janvier 2007, 23:44
  
  Merci, j’ai compris ! Je n’avais pas noté la distribution entre d et Ffrott.
- 3 décembre 2013, 13:56, par Camille Houille
  
  Bonjour, pour l’exercice sur le funiculaire, je suis bloqué et ne comprend pas comment trouvé les resultats. Merci
- 3 décembre 2013, 21:25, par Bernard Vuilleumier
  
  Bonsoir,
  
  Vous pouvez utiliser le théorème de l’énergie cinétique.
  a) S’il n’y a pas de frottement, le travail du poids est égal à la variation d’énergie cinétique
  b) S’il y a du frottement, c’est le travail de la résultante des forces qui est égal à la variation d’énergie cinétique.
15 janvier 2007, 22:32, par caroline

Bonsoir,

après avoir lu et relu l’explication que vous avez donné pour l’exercice 6, je n’arrive toujours pas à le comprendre !!!

Est-ce que vous pourriez le reexpliquer avec plus de détails ???

Merci
- 15 janvier 2007, 22:38, par Bernard Vuilleumier
  
  L’exercice 6 de quelle série ?
- 15 janvier 2007, 22:42, par caroline
  
  de l’oscillation harmonique
- 15 janvier 2007, 23:07, par Bernard Vuilleumier
  
  Oscillations harmoniques
  
  Exercice 6
  
  – Vous posez $\frac{kx^2}{2}=\frac{m v^2}{2}$
  – Vous résolvez par rapoort à $x$ et vous obtenez $x=\sqrt{\frac{m}{k}v}$
  – Vous substituez $x$ et $v$ respectivement par $Asin(\omega t)$ et $\omega Acos(\omega t)$
  – Vous obtenez $Asin(\omega t)=\sqrt{\frac{m}{k}}\omega Acos(\omega t)$
  – Comme $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$ , l’expression se simplifie pour donner $sin(\omega t)=cos(\omega t)$
  
  Vous lisez ensuite les réponses que j’ai faites à Aymeric et à Yannick, et vous devriez comprendre comment on obtient, non pas les valeurs numériques qui figurent dans les réponses et que vous ne pouviez pas trouver sans connaître la masse et la raideur, mais $x=\frac{A}{\sqrt 2}$ et $t=\frac{T}{8}$ où $A$ est l’amplitude et $T$ la période (grandeurs que je ne vous avais pas données).
- 15 janvier 2007, 23:13, par caroline
  
  Merci beaucoup !!!
- 20 janvier 2007, 19:53, par Chaker
  
  Bonsoir Monsieur Vuilleumier, je cherche le champ de l’épreuve de ma classe, sous ocPYe-1 mais je ne trouve pas, pouvez-vous m’aiguillez s’il vous plaît ?
- 20 janvier 2007, 21:27, par Bernard Vuilleumier
  
  Bonsoir Chaker,
  
  Comme vous n’êtes que deux à passer l’épreuve, il s’agira d’un examen oral de 15 minutes sur un des sujets que nous avons abordés. Vous pouvez consulter des exemples de questions qui ont été posées dans ce type d’examen.