Relativité restreinte
Exercices sur les effets et l’énergie relativistes
Contraction des longueurs et dilatation du temps

Six exercices sur la relativité restreinte.

Article mis en ligne le 4 décembre 2007
dernière modification le 6 décembre 2014

par Bernard Vuilleumier


Exercice 1

 a) Si l_0 est la longueur d’une règle 1 m dans \Sigma :

  • l_0’ est inférieure à 1 m dans \Sigma’ Vrai ou faux ?
  • l_0’ est égale à 1 m dans \Sigma’ Vrai ou faux ?
  • l_0’ est supérieure à 1 m dans \Sigma’ Vrai ou faux ?
Indication : Les extrémités des flèches se trouvent sur les hyperboles d’équations t2-x2=1 et x2-t2=1.

 b) Si t_0 est une durée de 1 seconde dans \Sigma :

  • t_0’ est inférieure à 1 s dans \Sigma’ Vrai ou faux ?
  • t_0’ est égale à 1 s dans \Sigma’ Vrai ou faux ?
  • t_0’ est supérieure à 1 s dans \Sigma’ Vrai ou faux ?

 c) Illustrez par une construction géométrique le fait qu’un observateur de \Sigma mesurant la longueur d’une règle en translation à la vitesse \beta arrive à la même conclusion qu’un observateur de \Sigma’ en translation à la vitesse \beta mesurant la longueur d’une règle au repos.
 d) Illustrez par une construction géométrique le fait qu’un observateur de \Sigma mesurant la durée séparant deux événements qui se produisent au même endroit dans \Sigma’ en translation à la vitesse \beta arrive à la même conclusion qu’un observateur de \Sigma’ mesurant la durée séparant deux événements qui se produisent au même endroit dans \Sigma.



Exercice 2
Sous l’effet du rayonnement cosmique, une particule prend naissance dans les hautes couches de l’atmosphère et se déplace en direction de la Terre à une vitesse v=0.8 c avant de se désintégrer. Sa durée de vie propre vaut τ=2,6 × 10-8 s.
 a) Construisez la ligne d’univers de cette particule sur un diagramme d’espace-temps attaché à la Terre et calculez sa durée de vie observée depuis la Terre.
 b) Calculez la distance que cette particule franchit dans l’atmosphère entre l’instant de sa création et celui de sa désintégration.



Exercice 3
Un proton se déplace à la vitesse β. Exprimez, puis calculez pourβ=0.987 :
 a) son énergie de masse
 b) son énergie cinétique
 c) son énergie totale.



Exercice 4
Des particules de charge q et de masse m sont accélérées par une tension U.
 a) Exprimez la vitesse de ces particules en fonction de la tension d’accélération et du rapport q/m dans le cadre de la physique classique et dans le cadre de la physique relativiste.
 b) Calculez ces vitesses pour des électrons lorsque U=10000 V ainsi que l’écart relatif entre prédiction classique et relativiste.

Indication : écart relatif en % = 100 ×\frac{v_{classique}-v_{relativiste}}{v_{classique}}



Exercice 5
Une particule instable de masse m se désintègre en deux fragments qui s’éloignent respectivement aux vitesses \beta_1 et \beta_2. Exprimez les masses de ces fragments en fonction de m, \beta_1 et \beta_2, puis calculez ces masses pour m=3.67×10-27 kg, \beta_1=-0.772 et \beta_2=0.983.



Exercice 6

Indication : Les flèches sont des vecteurs unités.

A partir des diagrammes d’espace-temps (x, t) et (x’, t’) ci-dessus, donnez :
 a) la vitesse de translation \beta_r des deux systèmes et indiquez son sens dans \Sigma et dans \Sigma’.
 b) la vitesse dans \Sigma d’une particule animée d’une vitesse \beta’=0.8 selon Ox’ dans \Sigma’.
 c) les coordonnées des événements B et D dans chacun des systèmes.
 d) les intervalles AD et AE dans les deux systèmes.
 e) Quels sont les événements simultanés dans \Sigma ? Et dans \Sigma’ ?
 f) Quels sont les événements qui se produisent au même endroit dans \Sigma ? Et dans \Sigma’ ?
 g) A quelle vitesse \Sigma’ devrait-il se déplacer selon Ox pour que les événements A et B soient simultanés dans \Sigma’ ?
 h) A quelle vitesse \Sigma’ devrait-il se déplacer selon Ox pour que les événements A et E se produisent au même endroit dans \Sigma’ ?

Vrai ou faux ?

 A peut causer C
 A peut causer D
 A peut causer E
 B peut causer C
 B peut causer F
 B peut causer A


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