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Séries

Développement en série

Développer une fonction en série

samedi 17 septembre 2005, par Bernard Vuilleumier

Une fonction y = f(x) dont les dérivées existent jusqu’au (n + 1)^e ordre inclus dans un certain voisinage du point x = a admet, dans ce voisinage, un développement en série et peut être exprimée par un polynôme y = P_n(x) de degré non supérieur à n, dont la valeur au point x = a est égale à la valeur de la fonction en ce point, et dont les valeurs au point x = a des dérivées successives jusqu’à l’ordre n inclus sont respectivement égales aux valeurs en ce point des dérivées correspondantes de la fonction f(x). Mathematica permet d’obtenir ce développement.

Soit la fonction cos(x). Cherchons son développement en série au voisinage du point x = 0 jusqu’à l’ordre 2 :

[Graphics:HTMLFiles/59_3.gif]

Au voisinage du point x = 0, le polynôme obtenu par le développement en série est très voisin de la fonction.

Application

Nous avons calculé les temps de vol de deux avions, l’un effectuant un trajet aller-retour dans la direction du vent, l’autre un trajet aller-retour de même longueur mais perpendiculairement au vent. Rappelons les résultats obtenus :

Le temps de parcours est donné par (distance parcourue)/vitesse. S’il n’y a pas de vent, on obtient le même temps à l’aller et au retour. Désignons par c la vitesse de l’avion, par L/2 la distance AB et exprimons le temps t_1 pour effectuer le parcours ABA :

t_AB = t_BA = L/(2c ) t_1 = L/c

a) La durée t_2 de l’aller et retour ABA est plus grande dans ces conditions que dans l’air calme car si la vitesse du vent v tend vers celle de l’avion c, le temps de parcours t_2 tend vers l’infini.
Exprimons le temps pour un parcours contre et avec un vent soufflant à la vitesse v  :

t_AB = L/(2 (c - v)) t_BA = L/(2 (c + v)) t_2 = L/c1/(1 – v^2/c^2)

b) La durée t_3 de l’aller et retour ACA est plus petite que celle de l’aller et retour ABA.
Exprimons le temps pour un parcours de travers avec un vent soufflant à la vitesse v  :

t_AC = t_CA = L/(2 (c^2 – v^2)^(1/2)) t_3 = L/c1/(1 – v^2/c^2)^(1/2)

Exemple numérique
Calculons le coefficient par lequel est multiplié t_1 lorsque v =c/100
dans le cas a)

1.0001

Dans le cas b)

1.00005

Nous avons donc bien : t_2 > t_3 > t_1

c) Formons la différence des deux coefficients et développons en série jusqu’à l’ordre 2 :

v^2/(2 c^2) + O[v]^3

La différence de temps entre b) et c) vaut donc approximativement, lorsque v << c :

t_2 – t_3 = Δt ≈ L/(2 c)v^2/c^2

d) La distance L parcourue, la vitesse c de l’avion et l’écart de temps Δt entre l’arrivée du premier et du dernier avion étant connus, nous pouvons résoudre l’équation et calculer la vitesse du vent v (en mètre par seconde) :

2.77778

La direction du vent est perpendiculaire au trajet de l’avion qui a mis le moins de temps pour effectuer l’aller et retour.

Messages

  • Bonjour, pour le point c), je ne comprend pas comment vous obtenez : \frac{v^2}{2c^2}+0[v]^3

    Merci d’avance

    • Vous formez la différence entre les deux temps et vous cherchez le développement usuel en série de cette expression au voisinage de \beta=0 dans les tables (ou vous le calculez comme vous avez sans doute appris à le faire en mathématiques). Vous ne retenez que les termes jusqu’à l’ordre 2 et vous obtenez le résultat annoncé. Si vous avez Mathematica sous la main, vous obtenez le résultat en évaluant :

    • Bonsoir,

      Sous "exemple numérique", vous dites que t2 est plus grand que t3, ne serait-ce pas plutôt l’inverse ?

      Enfin, pour information et en ce qui concerne les élèves de Voltaire, nous n’avons jamais vu le développement en série en cours de mathématiques.

      Bonne soirée.

    • Bonsoir,

      J’avais commencé à écrire la différence entre les deux temps, mais l’expression LaTeX était mal formée (je l’ai enlevée). Le code Mathematica en revanche est juste et fait apparaître cette différence entre les deux temps (t_2-t_3) qui est développée au voisinage de \beta=0 et qui donne le résultat.

      Pour l’exemple numérique, il me paraît évident que 1.0001 est supérieur à 1.00005. Pas à vous ?